Równanie kwadratowe ma postać ax² + bx + c = 0. Istnieją cztery metody ich rozwiązania — wiedza, którego użyć i kiedy, znacznie przyspiesza algebrę.
Formularz standardowy
Każde równanie kwadratowe można zapisać jako:
ax² + bx + c = 0
Gdzie a ≠ 0 (jeśli a = 0, jest to równanie liniowe).
Przykłady:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
Metoda 1: Faktoring
Działa najlepiej, gdy równanie rozkłada się na liczby całkowite. Najszybsza metoda, jeśli ma to zastosowanie.
Kroki:
- Napisz w standardowej formie
- Znajdź dwie liczby, które mnożą się do (a × c) i dodaj do b
- Podziel termin średni i rozłóż na czynniki, grupując
- Ustaw każdy współczynnik na zero
Przykład: x² − 5x + 6 = 0
- Potrzebujesz dwóch liczb: pomnóż przez 6, dodaj do −5 → −2 i −3
- Współczynnik: (x - 2) (x - 3) = 0
- Rozwiązania: x = 2 lub x = 3
Przykład: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, należy dodać współczynniki do 5 → 2 i 3
- Przepisz: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- Współczynnik: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- Współczynnik: (2x + 3)(x + 1) = 0
- Rozwiązania: x = −3/2 lub x = −1
Kiedy stosować: Kiedy szybko potrafisz dostrzec czynniki. Jeśli nie znajdziesz czynników w ciągu 30 sekund, zmień metodę.
Metoda 2: Wzór kwadratowy
Działa dla każdego równania kwadratowego. Użyj tej opcji, gdy faktoring nie jest oczywisty.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Przykład: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- Dyskryminator: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (-3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5 lub x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
Dyskryminator: ile rozwiązań?
Wyrażenie b² − 4ac informuje o naturze rozwiązań przed rozwiązaniem:
| Dyskryminujący | Liczba rozwiązań | Typ |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | Dwa różne rzeczywiste rozwiązania | Prawdziwe liczby |
| b² - 4ac = 0 | Jedno powtarzalne rozwiązanie | Prawdziwe, równe pierwiastki |
| b² - 4ac < 0 | Żadnych realnych rozwiązań | Dwa złożone/wyimaginowane korzenie |
Przykład: x² + 2x + 5 = 0
- Dyskryminator = 4 − 20 = −16 → brak rzeczywistych rozwiązań
- Rozwiązania złożone: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
Metoda 3: Uzupełnianie kwadratu
Przekształca równanie do postaci (x + p)² = q. Niezbędne do zrozumienia formy wierzchołkowej i wyprowadzenia wzoru kwadratowego.
Kroki:
- Przesuń stałą na prawą stronę
- Podziel przez a (jeśli a ≠ 1)
- Dodaj (b/2a)² do obu stron
- Rozłóż lewą stronę na idealny kwadrat
- Weź pierwiastek kwadratowy z obu stron
Przykład: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- Dodaj (6/2)² = 9 do obu stron: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 lub x = −5
Metoda 4: Wykresy
Rozwiązaniem (pierwiastkiem) są punkty przecięcia x paraboli y = ax² + bx + c.
- Dwa punkty przecięcia x → dwa rozwiązania rzeczywiste
- Jeden punkt przecięcia x (wierzchołek na osi x) → jedno powtarzane rozwiązanie
- Brak punktów przecięcia x → brak rzeczywistych rozwiązań (pierwiastki złożone)
Kiedy używać: Dla zrozumienia wizualnego lub podczas korzystania z kalkulatora graficznego. Niepraktyczne w przypadku dokładnych odpowiedzi.
Wybór właściwej metody
| Sytuacja | Najlepsza metoda |
|---|---|
| Współczynniki całkowite, wygląda na faktoralne | Najpierw faktoring |
| Dowolny kwadrat, potrzebuję dokładnej odpowiedzi | Wzór kwadratowy |
| Zrozumienie wierzchołka/minimum/maksimum | Ukończenie kwadratu |
| Wizualne zrozumienie lub przybliżenie | Wykresy |
| b² - 4ac < 0 | Wzór kwadratowy (daje złożone pierwiastki) |
Krótkie omówienie: typowe wzorce
Różnica kwadratów: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
Doskonały trójmian kwadratowy: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (powtórzone)
Brak wyrazu średniego: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (rzeczywiste tylko wtedy, gdy c i a mają przeciwne znaki)
Suma i iloczyn pierwiastków
Dla ax² + bx + c = 0 z pierwiastkami r₁ i r₂:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
Przykładowa weryfikacja: x² − 5x + 6 = 0, pierwiastki 2 i 3:
- Suma: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- Iloczyn: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Skorzystaj z naszego narzędzia do rozwiązywania równań sześciennych dla równań stopnia 3 lub zastosuj powyższy wzór kwadratowy dla dowolnego standardowego równania kwadratowego.