Odchylenie standardowe informuje, jak rozłożone dane kształtują się wokół średniej. Małe odchylenie standardowe oznacza ścisłe skupienie danych; duży oznacza, że jest szeroko rozproszony.
Dlaczego odchylenie standardowe ma znaczenie
Obie klasy uzyskują średnio 75% wyniku na teście. Jednak w klasie A wyniki wahają się w granicach 70–80%. W klasie B wyniki wahają się w granicach 40–100%. Średnia ukrywa ważne informacje – odchylenie standardowe je ujawnia.
Formuła
Dla populacji (wszystkie dane):
σ = √[ Σ(x - μ)² / N ]
Dla próbki (podzbioru danych):
s = √[ Σ(x - x̄)² / (n-1) ]
Gdzie:
- σ (sigma) = odchylenie standardowe populacji
- s = odchylenie standardowe próbki
- x = każda wartość
- μ lub x̄ = średnia
- N = wielkość populacji, n = wielkość próby
Przykładowy wzór dzieli się przez n-1 (nie n), aby skorygować błąd systematycznego podczas szacowania z podzbioru.
Przykład krok po kroku
Dane: 4, 7, 13, 2, 9 (próbka 5 wartości)
Krok 1: Oblicz średnią:
Mean = (4 + 7 + 13 + 2 + 9) / 5 = 35 / 5 = 7
Krok 2: Odejmij średnią od każdej wartości i kwadratu:
| X | x - znaczy | (x - średnia)² |
|---|---|---|
| 4 | -3 | 9 |
| 7 | 0 | 0 |
| 13 | 6 | 36 |
| 2 | -5 | 25 |
| 9 | 2 | 4 |
Krok 3: Zsumuj kwadraty różnic: 9 + 0 + 36 + 25 + 4 = 74
Krok 4: Podziel przez n-1 = 4: 74 / 4 = 18,5
Krok 5: Weź pierwiastek kwadratowy: √18,5 ≈ 4,30
Odchylenie standardowe = 4,30
Zasada 68-95-99,7
Dla danych o rozkładzie normalnym:
- 68% wartości mieści się w granicach ±1 odchylenia standardowego średniej
- 95% mieści się w granicach ±2 odchyleń standardowych
- 99,7% mieści się w granicach ±3 odchyleń standardowych
Przykład: Wysokość przy średniej 170 cm, SD 10 cm:
- 68% to osoby o wzroście 160–180 cm
- 95% mieści się w przedziale 150–190 cm
Aplikacje w świecie rzeczywistym
- Finanse: Mierzy zmienność inwestycji (ryzyko)
- Produkcja: Kontrola jakości — produkty o wartości przekraczającej ±3σ są wadami
- Medycyna: Identyfikacja nieprawidłowych wyników badań
- Edukacja: Ocenianie na krzywej
Skorzystaj z naszego Kalkulatora odchylenia standardowego, aby obliczyć średnią, medianę, wariancję i odchylenie standardowe dla dowolnego zbioru danych.