Uma pontuação z (ou pontuação padrão) mede quantos desvios padrão um ponto de dados está da média. Ele converte pontuações brutas em uma escala padronizada que permite a comparação entre diferentes conjuntos de dados.
A fórmula Z-Score
z = (x − μ) ÷ σ
Onde:
- x = ponto de dados individual
- μ (mu) = média populacional
- σ (sigma) = desvio padrão populacional
Para uma amostra, substitua μ por x̄ (média amostral) e σ por s (SD amostral).
Exemplo trabalhado
Um aluno obteve nota 72 em um exame. A média da classe é 65 e o desvio padrão é 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Este aluno pontuou 0,875 desvios padrão acima da média.
Interpretando pontuações Z
| Pontuação Z | Interpretação | Percentil (aprox.) |
|---|---|---|
| −3 | Extremamente abaixo da média | 0.1% |
| −2 | Bem abaixo da média | 2.3% |
| −1 | Abaixo da média | 15.9% |
| 0 | Na média | 50.0% |
| +1 | Acima da média | 84.1% |
| +2 | Bem acima da média | 97.7% |
| +3 | Extremamente acima da média | 99.9% |
A regra 68-95-99,7
Em uma distribuição normal:
- 68% dos dados estão dentro de ±1 desvio padrão
- 95% dentro de ±2 desvios padrão
- 99,7% dentro de ±3 desvios padrão
Convertendo Z-Score em Percentil
Depois de obter uma pontuação z, procure a tabela normal padrão (tabela Z) ou use:
Percentile = Φ(z) × 100
Onde Φ é a função de distribuição normal cumulativa.
Exemplo: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3º percentil
Aplicações de Z-Scores
Financiar:
- Altman Z-Score prevê risco de falência
- Usado no gerenciamento de riscos para identificar outliers
Assistência médica:
- IMC para escores z de idade para crianças
- Os escores T de densidade óssea (DXA) são uma forma de escore z
Controle de qualidade:
- Six Sigma usa pontuações z para medir a capacidade do processo
- Um processo "6-sigma" tem uma pontuação z de 6 (3,4 defeitos por milhão)
Padronização das pontuações dos testes:
- Pontuações de QI: média 100, DP 15 (uma pontuação z de +2 → QI 130)
- Pontuações SAT: média 1000, SD 200 (escalonado a partir de pontuações z)
Comparando pontuações em diferentes testes
Exemplo: Alice obteve 80 pontos no Teste A (média 70, DP 10). Bob obteve 55 pontos no Teste B (média 40, DP 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Apesar da pontuação bruta mais baixa, Bob teve um desempenho melhor em relação aos seus colegas.