O desvio padrão é a medida de dispersão mais amplamente utilizada nas estatísticas. Ele informa como os valores estão distribuídos em torno da média. Este guia explica desde os primeiros princípios com exemplos práticos.
O que o desvio padrão lhe diz
A média indica o centro de um conjunto de dados. O desvio padrão informa até que ponto os valores normalmente se afastam desse centro.
Desvio padrão baixo → valores agrupados em torno da média Alto desvio padrão → valores amplamente afastados da média
Duas aulas de exame têm média de 70%, mas:
- Classe A: pontuações de 68, 69, 70, 71, 72 — DP ≈ 1,4 (muito consistente)
- Classe B: pontuações de 40, 55, 70, 85, 100 — DP ≈ 22,4 (altamente variável)
Mesma média, distribuições muito diferentes.
A Fórmula
Existem duas versões dependendo se você tem a população completa ou uma amostra.
Desvio Padrão Populacional (σ)
Use quando você tiver dados de cada membro do grupo.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
Desvio(s) Padrão(ões) da Amostra
Use quando seus dados forem uma amostra de uma população maior (o caso mais comum).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
O denominador é n − 1 (não n) para corrigir o viés que surge ao estimar um parâmetro populacional a partir de uma amostra. Isso é chamado de correção de Bessel.
Cálculo passo a passo
Conjunto de dados: Pontuações de testes para 6 alunos: 72, 85, 68, 91, 74, 80
Etapa 1: Encontre a média
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
Etapa 2: Encontre cada desvio da média
| Pontuação | Desvio (x − x̄) | Desvio quadrático |
|---|---|---|
| 72 | −6,33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −10,33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | −4,33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
Etapa 3: Somar os desvios quadráticos
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
Etapa 4: Divida por n − 1 (amostra)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
Etapa 5: calcule a raiz quadrada
s = √(74.67) = 8.64
O desvio padrão é 8,64 pontos. A pontuação típica de um aluno está cerca de 8–9 pontos abaixo da média da turma.
A regra 68-95-99,7
Para dados normalmente distribuídos (curva em sino), o desvio padrão tem uma relação previsível com o spread:
- 68% dos valores estão dentro de 1 DP da média
- 95% dos valores ficam dentro de 2 DP da média
- 99,7% dos valores ficam dentro de 3 DP da média
Aplicado ao nosso exemplo (média = 78,33, DP = 8,64):
- 68% dos escores: 78,33 ± 8,64 → 69,7 a 86,97
- 95% das pontuações: 78,33 ± 17,28 → 61,05 a 95,61
- 99,7% das pontuações: 78,33 ± 25,92 → 52,41 a 104,25
Variância vs Desvio Padrão
Variância é o desvio padrão ao quadrado: s² = 74,67 em nosso exemplo.
Por que usar o desvio padrão em vez da variância?
- O desvio padrão está nas mesmas unidades dos seus dados (pontos, dólares, metros)
- A variância está em unidades quadradas – mais difícil de interpretar na prática
- “A pontuação média desviada em 8,64 pontos” é significativa; “a variação foi de 74,67 pontos²” não é
Usos no mundo real
Finanças: Uma ação com retornos diários médios de 0,05% e DP de 1,2% é muito mais arriscada do que uma com o mesmo retorno médio e DP de 0,3%. O desvio padrão é a base da medição da volatilidade.
Fabricação: Uma fábrica que produz parafusos com diâmetro alvo de 10 mm e SD de 0,02 mm é muito mais consistente do que uma com SD de 0,5 mm. O controle de qualidade depende do SD.
Medicina: Ensaios clínicos relatam DS juntamente com meios para mostrar a consistência de um tratamento em todos os pacientes.
Clima: "Temperatura média de 18°C com SD de 4°C" diz muito mais do que a média por si só - você sabe o que levar na mala.
Pontuações Z
Uma pontuação z converte qualquer valor em unidades de desvio padrão, permitindo a comparação entre diferentes conjuntos de dados:
z = /x - x̄s
Um aluno com pontuação 91 em nosso exemplo:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
Essa pontuação está 1,47 desvios padrão acima da média – melhor do que cerca de 93% da turma.
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