Что такое Present Value of Annuity?
▾
Аннуитет — это финансовый контракт, согласно которому серия платежей производится через регулярные промежутки времени в течение определенного периода или на протяжении всей жизни. Текущая стоимость аннуитета — это текущий единовременный эквивалент всех этих будущих платежей — сумма денег сегодня, которая, если ее инвестировать по заданной ставке дисконтирования, произвела бы именно тот поток платежей, который обещает аннуитет. Понимание текущей стоимости имеет основополагающее значение для страхования, пенсионного и финансового планирования, поскольку оно позволяет значимо сравнивать единовременную сумму, полученную сегодня, и поток будущих платежей или между двумя разными потоками платежей. Концепция приведенной стоимости воплощает временную стоимость денег: доллар, полученный сегодня, стоит больше, чем доллар, полученный в будущем, потому что сегодняшний доллар можно инвестировать и получать прибыль. Формула текущей стоимости дисконтирует каждый будущий платеж обратно к настоящему, используя ставку дисконтирования, которая отражает либо альтернативную стоимость капитала, либо допущение о процентной ставке, используемое страховщиком или пенсионным фондом. Существует два основных типа аннуитетов с точки зрения сроков: обычный аннуитет (или просроченный аннуитет) производит платежи в конце каждого периода, а причитающийся аннуитет производит платежи в начале. Разница влияет на приведенную стоимость ровно на коэффициент дисконтирования одного периода. В контексте страхования и пенсионного обеспечения расчеты приведенной стоимости используются для оценки немедленных аннуитетов с единой премией (SPIA), для оценки пенсионных обязательств, для расчета стоимости структурированных расчетов, для оценки продуктов пожизненной ренты, которые включают уровень смертности, а также для определения единовременного эквивалента пенсионных пособий с установленными выплатами. Актуарии расширяют базовую формулу, включая вероятности выживания, создавая актуарную приведенную стоимость — взвешенную с учетом вероятности приведенную стоимость, которая учитывает риск того, что получатель ренты может умереть до получения всех обещанных платежей.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
Расчет аннуитета по текущей стоимости:
Шаг 1. Определите сумму платежа (PMT), количество периодов (n) и ставку дисконтирования за период (r).
Шаг 2. Для обычного аннуитета (выплаты в конце периода) используйте формулу: PV = PMT × [1 − (1 + r)^(-n)] / r.
Шаг 3: Для причитающегося аннуитета (выплаты в начале периода) умножьте результат обычного аннуитета на (1 + r).
Шаг 4. Для растущего аннуитета с постоянным темпом роста g используйте: PV = PMT / (r - g) × [1 - ((1 + g)/(1 + r))^n].
Шаг 5: Для бессрочного контракта (бесконечные платежи) формула упрощается до: PV = PMT/r.
Шаг 6. Для пожизненной ренты, включающей смертность, используйте актуарную приведенную стоимость: умножьте каждый платеж на вероятность выживания за этот период, а затем дисконтируйте его до приведенной стоимости.
Шаг 7: Проверьте результаты, подтвердив, что сумма всех дисконтированных индивидуальных платежей равна рассчитанной приведенной стоимости.
Каждый шаг основывается на предыдущем, объединяя расчеты компонентов в комплексный результат аннуитета с текущей стоимостью. Формула отражает математические отношения, определяющие поведение аннуитета по текущей стоимости.Описание переменных
▾
| Символ | Имя | Единица | Описание |
|---|---|---|---|
| PV | Текущая стоимость | dollars ($) | Текущая единовременная сумма, эквивалентная всему будущему потоку платежей, дисконтированная по ставке r. |
| PMT | Периодический платеж | dollars ($) | Сумма каждого регулярного платежа в потоке аннуитета (предполагается постоянной для фиксированного аннуитета). |
| r | Ставка скидки | percent (%/period) | Процентная ставка или ставка дисконтирования за период, используемая для конвертации будущих платежей в текущую стоимость; отражает временную стоимость денег. |
| n | Количество периодов | periods | Общее количество периодов платежей в потоке аннуитета (месяцы, годы или кварталы). |
| FV | Будущая стоимость | dollars ($) | Накопленная стоимость всех аннуитетных платежей в конце платежного периода, начисленная по ставке r. |
Как Present Value of Annuity
▾
- 1Определите сумму платежа (PMT), количество периодов (n) и ставку дисконтирования за период (r).
- 2Для обычного аннуитета (выплаты в конце периода) используйте формулу: PV = PMT × [1 − (1 + r)^(-n)] / r.
- 3Для причитающегося аннуитета (выплаты в начале периода) умножьте результат обычного аннуитета на (1 + r).
- 4Для растущего аннуитета с постоянным темпом роста g используйте: PV = PMT / (r - g) × [1 - ((1 + g)/(1 + r))^n].
- 5Для бессрочного контракта (бесконечные платежи) формула упрощается до: PV = PMT/r.
- 6Для пожизненной ренты, включающей смертность, используйте актуарную приведенную стоимость: умножьте каждый платеж на вероятность выживания за этот период, а затем дисконтируйте его до приведенной стоимости.
- 7Проверьте результаты, подтвердив, что сумма всех дисконтированных отдельных платежей равна рассчитанной приведенной стоимости.
Решённые примеры
▾
Если ваша личная ставка дисконтирования (ожидание возврата инвестиций) превышает 5,05%, возьмите единовременную сумму; ниже этого аннуитет более ценен
Текущая стоимость 50 000 долларов США в год в течение 20 лет при ставке дисконтирования 5% равна 623 111 долларов США, что немного больше, чем предложение единовременной выплаты в размере 620 000 долларов США. Решение зависит от способности победителя инвестировать единовременную сумму. Если победитель может инвестировать под ставку 5,05% или выше, паушальная сумма и самоуправляемые инвестиции дадут равные или лучшие результаты. Большинство финансовых консультантов рекомендуют победителям лотереи проконсультироваться с специалистом по финансовому планированию, чтобы смоделировать результаты после уплаты налогов, поскольку налоги штата по-разному применяются к единовременным выплатам и аннуитетным выплатам во многих юрисдикциях.
Это текущая стоимость пенсионных обязательств в возрасте 65 лет, которую можно сравнить с предложением о единовременном выкупе.
Преобразовав ежемесячную ставку дисконтирования в 4%/12 = 0,3333%/месяц в течение 300 месяцев, текущая стоимость 3500 долларов США в месяц составит примерно 654 848 долларов США. Если пенсионный план предлагает единовременный выкуп, сравнение этой цифры с предложением быстро показывает, является ли выкуп справедливой стоимостью. Предложения о выкупе пенсий часто дисконтируются относительно актуарной стоимости, что отражает желание плана уменьшить свои обязательства. Предложение ниже 654 848 долларов США (с использованием ставки дисконтирования 4%) может быть ниже справедливой стоимости, хотя соответствующая ставка дисконтирования является спорной.
Возраст безубыточности SPIA: 84,6 года. Чтобы «выиграть» пари у страховщика, получатель аннуитета должен прожить более 84 лет.
Если исходить из премии в размере 200 000 долларов США и выплаты в размере 1 050 долларов США в месяц, подразумеваемая внутренняя норма доходности аннуитета предполагает примерно 246 месяцев (20,5 лет) платежей. В возрасте 65 лет ожидаемая продолжительность жизни мужчины составляет примерно 18–19 лет (до 83–84 лет), а это означает, что подразумеваемые цены слегка консервативны. Преимущество аннуитета в объединении смертности (страховщик объединяет риск продолжительности жизни между многими получателями аннуитета) означает, что те, кто живет дольше ожидаемой продолжительности жизни, получают больше, чем платили, и субсидируются теми, кто умирает раньше. Эта функция страхования долголетия является основной ценностью пожизненных аннуитетов.
А также: PV этой будущей единовременной выплаты, дисконтированной по ставке 6% назад 30 лет назад = 87 538 долларов США — сегодняшняя стоимость этих будущих сбережений.
Используя будущую стоимость формулы аннуитета с 500 долларами в месяц, 360 периодами и ежемесячной ставкой 0,5%, накопленные сбережения достигнут 502 257 долларов США через 30 лет. Это иллюстрирует силу сложного роста регулярных взносов. Если бы сегодня вам предложили 87 538 долларов в обмен на ваши обязательства по пенсионным накоплениям, это была бы математически эквивалентная единовременная выплата со ставкой дисконтирования 6%. Расчеты текущей и будущей стоимости позволяют осуществлять прямое сравнение текущих и будущих сумм.
Практическое применение
▾
Оценка пенсий: актуарии рассчитывают приведенную стоимость пенсионных обязательств с установленными выплатами для финансовой отчетности, что представляет собой важную область применения аннуитета по приведенной стоимости в профессиональном и аналитическом контексте, где точные расчеты аннуитета по приведенной стоимости напрямую поддерживают принятие обоснованных решений, стратегическое планирование и оптимизацию производительности.
Люди используют аннуитет по приведенной стоимости для личного планирования аннуитета по приведенной стоимости, составления бюджета и принятия решений, что позволяет делать осознанный выбор, основанный на математической строгости, а не грубой оценке, что особенно ценно для важных жизненных решений, связанных с аннуитетом по приведенной стоимости.
Цены на страховые продукты: страховщики рассчитывают эквиваленты премий для аннуитетных продуктов, используя приведенную стоимость ожидаемых выгод, что представляет собой важную область применения аннуитета по приведенной стоимости в профессиональном и аналитическом контексте, где точные расчеты аннуитета по текущей стоимости напрямую поддерживают принятие обоснованных решений, стратегическое планирование и оптимизацию производительности.
Анализ лотерейных призов: специалисты по финансовому планированию рассчитывают PV лотерейных аннуитетных платежей по сравнению с альтернативами единовременной выплаты для оптимизации налогообложения, что представляет собой важную область применения аннуитета по приведенной стоимости в профессиональном и аналитическом контексте, где точные расчеты аннуитета по приведенной стоимости напрямую поддерживают принятие обоснованных решений, стратегическое планирование и оптимизацию производительности.
Планирование пенсионного дохода: финансовые консультанты рассчитывают, какой капитал необходим при выходе на пенсию для финансирования определенного ежемесячного потока доходов, что представляет собой важную область применения аннуитета по приведенной стоимости в профессиональном и аналитическом контексте, где точные расчеты аннуитета по приведенной стоимости напрямую поддерживают принятие обоснованных решений, стратегическое планирование и оптимизацию производительности.
Особые случаи
▾
{'case': 'Бесконечность — бесконечный поток платежей', 'description': 'Бесконечность выплачивает фиксированную сумму навсегда — без даты погашения. Текущее значение упрощается до PV = PMT/r. Бессрочный контракт стоимостью 1000 долларов США в год при ставке дисконтирования 5% сегодня стоит 20 000 долларов США. Дивиденды по привилегированным акциям и некоторые выплаты из целевых фондов моделируются как бессрочные.'}
В случае аннуитета по текущей стоимости этот сценарий требует дополнительной осторожности при интерпретации результатов аннуитета по текущей стоимости. Стандартная формула может не полностью учитывать все факторы, присутствующие в этом крайнем случае, и может потребоваться дополнительный анализ или консультация эксперта. Передовая профессиональная практика включает в себя документирование допущений, проведение анализа чувствительности и перекрестные ссылки на результаты с альтернативными методами, когда расчеты аннуитета по текущей стоимости выходят за рамки стандартного.
{'case': 'Цена аннуитета, зависящего от жизни', 'description': 'Для пожизненных аннуитетов, оцениваемых страховыми компаниями, актуарии используют структуру функции коммутации, основанную на стандартных таблицах смертности (например, SOA 2012, таблица индивидуальной аннуитетной смертности), для расчета APV, включающей как дисконтирование процентов, так и смертность. Результатом является чистая разовая премия до учета расходов и прибыли.'}
Текущая стоимость аннуитета в размере 1000 долларов США в месяц по ставке дисконтирования и сроку
▾
| Ставка скидки | 10 лет | 20 лет | 30 лет | Жизнь (мужчина 65 лет, примерно) |
|---|---|---|---|---|
| 2% | 108 977 долларов США | 197 928 долларов США | 270 471 доллар США | 188 000 долларов США |
| 4% | 98 771 доллар США | 165 024 доллара США | 209 461 доллар США | 163 000 долларов США |
| 5% | 94 281 доллар США | 151 525 долларов США | 186 282 доллара США | 152 000 долларов США |
| 6% | 90 073 доллара США | 139 581 доллар США | 166 791 доллар США | 141 000 долларов США |
| 8% | 82 421 доллар США | 119 554 доллара США | 136 283 доллара США | 122 000 долларов США |
Часто задаваемые вопросы
▾
В чем разница между обычным аннуитетом и причитающимся аннуитетом?
Обычный аннуитет (также называемый просроченным аннуитетом) осуществляет периодические выплаты в конце каждого платежного периода. Примером может служить ипотечный платеж, подлежащий выплате в конце месяца: вы занимаете деньги, используете их в течение месяца, а затем платите в конце месяца. Причитающиеся аннуитеты производят выплаты в начале каждого периода. Арендная плата обычно представляет собой аннуитет — вы платите в начале периода аренды. Причитающийся аннуитет стоит немного больше, чем эквивалентный обычный аннуитет, поскольку каждый платеж поступает на один период раньше, что дает возможность на один дополнительный период начисления сложных процентов или инвестиций. Приведенная стоимость причитающегося аннуитета равна приведенной стоимости обычного аннуитета, умноженной на (1 + r), где r — ставка дисконтирования за период. Для большинства финансовых расчетов, связанных с ипотекой, кредитами и страховыми продуктами, обычный аннуитет является соглашением по умолчанию, если не указано иное.
Какую ставку дисконтирования следует использовать для оценки аннуитета?
Соответствующая ставка дисконтирования зависит от цели расчета. Для страховых и пенсионных актуарных оценок регулирующие органы обычно указывают стандартизированные ставки дисконтирования, основанные на преобладающей доходности казначейских облигаций или облигаций инвестиционного уровня — исторически они находились в диапазоне 4–6%, хотя в 2010-е годы они сократились до 2–3%. Для личных финансовых решений, таких как сравнение единовременной пенсии и аннуитета, подходящей ставкой является ваша альтернативная стоимость — прибыль, которую вы можете получить от единовременной выплаты за счет инвестиций сопоставимого риска. Для консервативных инвесторов может подойти 3–5%; для тех, кто чувствует себя комфортно с риском на фондовом рынке, может подойти 6–8%. Использование более высокой ставки дисконтирования снижает текущую стоимость аннуитета, делая единовременные выплаты более привлекательными. Более низкие ставки увеличивают текущую стоимость, благоприятствуя выбору аннуитета. Не существует единой универсально правильной ставки — она должна отражать конкретные обстоятельства лица, принимающего решения, и толерантность к риску.
Что такое актуарная приведенная стоимость и чем она отличается от обычной PV?
Регулярный расчет приведенной стоимости предполагает, что все запланированные платежи обязательно будут получены — он делает скидку на время, но не на риск смерти или других непредвиденных обстоятельств. Актуарная приведенная стоимость (APV) дополнительно включает вероятность выживания (или других непредвиденных обстоятельств) на каждую дату платежа, взвешивая каждый платеж по вероятности того, что он будет фактически выплачен. Для пожизненной ренты APV использует актуарные таблицы смертности — статистические таблицы, полученные на основе крупных исследований смертности населения — для определения вероятности выживания для каждого будущего периода выплат. APV пожизненной ренты ниже, чем обычная PV того же потока платежей, поскольку некоторые получатели ренты умрут, не получив всех платежей. Страховщики оценивают аннуитеты на основе APV плюс нагрузка на прибыль и расходы. Понимание APV необходимо для справедливого сравнения пожизненной ренты и ренты за определенный период или единовременной выплаты.
Что такое отсроченный аннуитет по сравнению с немедленным аннуитетом?
Немедленный аннуитет (в частности, немедленный аннуитет с единой премией или SPIA) начинает производить выплаты в течение одного периода (обычно одного месяца) после выплаты премии. Покупатель платит единовременную сумму и сразу же начинает получать периодический доход, который чаще всего используется пенсионерами, конвертирующими накопленные сбережения в гарантированный пожизненный доход. Отсроченный аннуитет накапливает средства на этапе накопления, при этом выплаты дохода начинаются в будущем (обычно при выходе на пенсию). На этапе накопления средства растут за счет отсрочки налогов. Отложенные аннуитеты могут быть фиксированными (гарантированная процентная ставка), переменными (инвестируемые в рыночные субсчета) или фиксированно-индексированными (доходность привязана к рыночному индексу с минимальной гарантией). Отсроченные аннуитеты представляют собой, прежде всего, сберегательные средства со страховыми функциями; Немедленные аннуитеты являются, прежде всего, инструментом распределения доходов.
Как инфляция влияет на реальную стоимость аннуитетных платежей?
Фиксированные аннуитетные платежи со временем теряют покупательную способность из-за инфляции. Аннуитет в размере 3000 долларов в месяц, который сегодня кажется щедрым, можно будет купить значительно меньше через 20 лет, если инфляция составит в среднем 3% в год - его реальная стоимость составит примерно 1661 доллар в месяц в сегодняшних долларах. Эта инфляционная эрозия представляет собой значительный риск для пенсионеров, зависящих от фиксированного аннуитетного дохода. Варианты снижения инфляционного риска включают в себя: индексированные по инфляции аннуитеты (выплаты увеличиваются вместе с индексом потребительских цен, хотя вначале они ниже), ежегодные корректировки стоимости жизни (обычно фиксированное процентное увеличение на 1–3%), инвестирование в переменные аннуитеты с субсчетами акций (доходность может идти в ногу с инфляцией, но добавляет инвестиционный риск) и поддержание отдельного диверсифицированного инвестиционного портфеля наряду с меньшим немедленным аннуитетом. Пособия по социальному обеспечению, индексированные с учетом инфляции, обеспечивают частичную защиту от инфляции для большинства пенсионеров.
В чем разница между фиксированным и переменным аннуитетом?
Фиксированный аннуитет выплачивает определенную гарантированную процентную ставку на этапе накопления и обеспечивает выплаты гарантированного дохода на этапе распределения. Страховая компания несет инвестиционный риск. Переменный аннуитет позволяет колебаться накопленной стоимости и будущим платежам в зависимости от показателей основных инвестиционных субсчетов (аналогично взаимным фондам). Держатель полиса несет инвестиционный риск, но также участвует в потенциале роста. Переменные аннуитеты обычно включают гарантированное минимальное пособие в случае смерти — в случае смерти держателя полиса бенефициары получают как минимум первоначальную премию (или иногда максимальную достигнутую сумму счета), даже если инвестиционная эффективность была отрицательной. Переменные аннуитеты дороже фиксированных, при этом общие годовые затраты (управление инвестициями плюс страховые сборы) часто составляют 1,5–3,5%, что может значительно снизить долгосрочную чистую прибыль по сравнению с прямым инвестированием в паевые инвестиционные фонды.
Когда имеет финансовый смысл приобретать немедленный аннуитет?
Немедленные аннуитеты имеют финансовый смысл при определенных обстоятельствах. Они наиболее подходят для людей, которые: сталкиваются с риском долголетия (семейная история долгой жизни), имеют ограниченные другие гарантированные источники дохода (небольшое социальное обеспечение, отсутствие пенсии), беспокоятся о том, чтобы пережить свои сбережения, не имеют наследников или целей планирования наследства для своих активов и ценят психологическую выгоду гарантированного дохода выше максимального ожидаемого накопления богатства. Эффект объединения смертности от аннуитета — когда те, кто умирает рано, фактически субсидируют тех, кто живет долго — означает, что долгоживущие люди получают значительно больше общих выплат, чем они получили бы от самоуправляемых инвестиций, в то время как те, кто умирает рано, получают меньше. Аннуитеты, как правило, менее подходят для людей с серьезными проблемами со здоровьем, ограничивающими продолжительность жизни, для людей с большим гарантированным доходом из других источников (социальное обеспечение, пенсии) или для тех, кто отдает приоритет передаче богатства наследникам.
Распространённые ошибки
▾
- !Использование годовой ставки дисконтирования непосредственно с ежемесячными платежами — всегда конвертируйте в ставку соответствующего периода: ежемесячная ставка = годовая ставка / 12.
- !Путаница обычного аннуитета с причитающимся аннуитетом — платежи в конце периода по сравнению с началом периода изменяют приведенную стоимость на коэффициент дисконтирования одного периода.
- !Игнорирование инфляции при оценке фиксированного аннуитетного дохода: фиксированные 3000 долларов в месяц кажутся комфортными сегодня, но через 20 лет их покупательная способность будет значительно меньше при инфляции в 3%.
- !Использование неправильного количества периодов — еще раз проверьте, указан ли срок в годах или месяцах, и соответствует ли ставка этой единице периода.
- !Сравнивая PV пожизненной ренты (которая включает смертность) с определенной PV ренты (которая не учитывает) без учета структурных различий, можно сделать вывод, что нагрузка смертности является реальной экономической характеристикой, а не ошибкой.
Совет профессионала
Приведенная стоимость аннуитета уменьшается по мере увеличения ставки дисконтирования. Когда процентные ставки низкие, аннуитеты кажутся более дорогими, поскольку будущие платежи дисконтируются менее сильно.
Знаете ли вы?
Слово «аннуитет» происходит от латинского «annus» (год). Один из старейших зарегистрированных договоров ренты относится к римским временам: римские солдаты получали ренту в качестве компенсации за военную службу, раннюю форму пенсии.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Источники
Read the full guide on how to use this calculator effectively
Читать далее →Получайте еженедельные советы по математике
Присоединяйтесь к подписчикам 12 000+, которые каждую неделю получают советы по калькулятору.