Что такое Bond Duration & Convexity?
▾
Дюрация и выпуклость являются двумя фундаментальными показателями чувствительности облигации к изменениям процентных ставок. Вместе они позволяют инвесторам оценить, насколько изменится цена облигации при изменении доходности, обеспечивая точное управление риском процентной ставки в портфелях с фиксированным доходом. Длительность имеет две основные формы. Продолжительность Маколея, введенная Фредериком Маколеем в 1938 году, представляет собой средневзвешенное время получения денежных потоков по облигациям (купонные выплаты и основная сумма долга) с весами, пропорциональными текущей стоимости каждого денежного потока. Он выражается в годах и представляет собой эффективный «срок окупаемости» инвестиций в облигации. Дюрация Маколея облигации с нулевым купоном равна сроку ее погашения, поскольку весь денежный поток поступает в конце; Продолжительность Маколея купонной облигации короче срока погашения, поскольку промежуточные купонные выплаты сокращают эффективное время ожидания. Модифицированная дюрация преобразует дюрацию Маколея в прямую меру чувствительности цены: она оценивает процентное изменение цены облигации при изменении доходности на 1% (100 базисных пунктов). Модифицированная дюрация = Дюрация Маколея / (1 + y/m), где y — доходность к погашению, а m — количество купонных периодов в году. Например, ожидается, что облигация с модифицированной дюрацией 7 упадет в цене примерно на 7%, если доходность вырастет на 100 базисных пунктов, или вырастет на 7%, если доходность упадет на 100 базисных пунктов. Выпуклость — это мера ценовой чувствительности второго порядка: она отражает кривизну отношений цена-доходность, которую не учитывает сама продолжительность. Поскольку цены облигаций и доходность имеют выпуклую (изогнутую) зависимость, а не линейную, дюрация недооценивает рост цен, когда доходность падает, и переоценивает снижение цен, когда доходность растет. Добавление поправки на выпуклость дает более точную оценку изменения цены, особенно при значительных изменениях доходности. Положительная выпуклость (характеристика стандартных облигаций) означает, что облигация получает выгоду от движения процентных ставок в обоих направлениях относительно линейного приближения дюрации. Ценные бумаги, обеспеченные ипотекой, могут проявлять отрицательную выпуклость, когда падение ставок приводит к досрочным выплатам. Эти концепции лежат в основе иммунизации портфеля облигаций, стратегий инвестиций, ориентированных на обязательства (LDI), и управления рисками с фиксированным доходом в банках, страховых компаниях и пенсионных фондах.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
Измененная продолжительность = Продолжительность Маколея / (1 + г/м)
ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)². Эта формула вычисляет выпуклость продолжительности, связывая входные переменные через их математические отношения. Каждый компонент представляет собой измеримую величину, которую можно проверить независимо.Описание переменных
▾
| Символ | Имя | Единица | Описание |
|---|---|---|---|
| D_Mac | Маколей Продолжительность | years | Средневзвешенное время получения всех денежных потоков с весами, равными приведенной стоимости каждого денежного потока, деленной на общую цену облигации. |
| D_mod | Измененная продолжительность | years (% per 1% yield change) | Примерное процентное изменение цены на 1% изменения доходности: D_mod = D_Mac / (1 + y/m). |
| C | Выпуклость | years squared | Мера ценовой чувствительности второго порядка; отражает кривизну отношений цена-доходность, не отражаемую длительностью. |
| y | Доходность до погашения | % | Текущая доходность облигации к погашению, используемая для дисконтирования денежных потоков и расчета дюрации. |
| m | Частота купонов | payments per year | Количество купонных выплат в год (например, 2 для полугодовых, 1 для годовых). |
| ΔP/P | Изменение цены (%) | % | Предполагаемое процентное изменение цены облигации: ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)². |
Как Bond Duration & Convexity
▾
- 1Перечислите все будущие денежные потоки по облигациям с указанием их сроков: купонные выплаты (купон = номинальная стоимость × ставка купона / м) в каждом периоде и выплата по номинальной стоимости при погашении.
- 2Дисконтируйте каждый денежный поток до его текущей стоимости, используя доходность к погашению: PV_t = CF_t / (1 + y/m)^t, где t — номер периода.
- 3Суммируйте все приведенные стоимости, чтобы получить цену облигации: P = Σ PV_t.
- 4Вычислите продолжительность Маколея: D_Mac = Σ [t × PV_t] / P — средневзвешенное время (в периодах), затем разделите на m, чтобы преобразовать в годы.
- 5Вычисление измененной продолжительности: D_mod = D_Mac / (1 + y/m). Это ценовая чувствительность первого порядка облигации — умножьте ее на −1 и измените доходность, чтобы оценить процентное изменение цены.
- 6Вычислите выпуклость: C = [Σ t(t+1) × PV_t / (1+y/m)²] / (P × m²). Этот член второго порядка корректирует оценку продолжительности кривизны кривой цена-доходность.
- 7Для данного изменения доходности Δy: оцените ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)². Для небольших Δy (< 25 б.с.) обычно достаточно одного термина продолжительности; для более крупных изменений выпуклость становится существенной.
Решённые примеры
▾
Облигация по номиналу: цена = 1000 долларов США. Рост доходности на 100 б.п. → ок. -7,93% изменение цены.
Когда купонная ставка облигации равна ее доходности к погашению, она торгуется по номиналу (1000 долларов США). Дюрация Маколея, составляющая 8,11 лет, отражает средневзвешенное время получения денежных потоков за 10 лет по полугодовым купонам плюс окончательную основную сумму долга. Модифицированная дюрация 7,93 означает, что облигация теряет примерно 7,93% в цене на каждый 1% повышения доходности. Для увеличения доходности на 100 базисных пунктов: ΔP/P ≈ -7,93% × 1% + 0,5 × 79,5 × (0,01)² ≈ -7,93% + 0,40% = -7,53%, показывая, как выпуклость частично компенсирует снижение дюрации.
Нулевой купон: продолжительность равна сроку погашения. Самая высокая дюрация для данного срока погашения — максимальная чувствительность к ставке.
Облигация с нулевым купоном не выплачивает промежуточные купоны — весь денежный поток поступает в момент погашения. Следовательно, его продолжительность Маколея точно равна его сроку погашения (20 лет). При модифицированной дюрации 19,05 увеличение доходности на 1% приводит к снижению цены примерно на 19,05%, что делает эту облигацию чрезвычайно чувствительной к изменениям процентных ставок. Очень высокая выпуклость на уровне 399,7 обеспечивает существенную защиту от значительных колебаний доходности, но облигации остаются наиболее чувствительным к процентным ставкам инструментом в зависимости от срока погашения. Облигации с нулевым купоном широко используются в инвестиционных стратегиях, основанных на обязательствах, для точного соответствия долгосрочным обязательствам.
Высокий купон относительно доходности — торгуются выше номинала (облигация с премией). Низкая чувствительность.
Обладая купоном 6% и доходностью к погашению 5%, эта облигация торгуется выше номинала (облигация с премией, цена ≈ 1 027,23 доллара США). Высокий купон ускоряет получение денежного потока, сокращая дюрацию Маколея до 2,74 года, несмотря на трехлетний срок погашения. Модифицированная дюрация 2,67 означает изменение цены только на 2,67% на изменение доходности на 1%, что делает эту облигацию гораздо менее чувствительной к процентным ставкам, чем 10-летние казначейские облигации или облигации с нулевым купоном. Корпоративные облигации с коротким сроком обращения используются для снижения процентного риска, сохраняя при этом кредитные спреды выше доходности государственных облигаций.
Дюрация портфеля представляет собой средневзвешенное значение длительности компонентов.
Дюрация портфеля = 0,40 × 4,3 + 0,60 × 11,2 = 1,72 + 6,72 = 8,44. Эта лестница облигаций, объединяющая короткие и длинные облигации, достигает промежуточной продолжительности 8,44 года — аналогично 10-летним казначейским облигациям — без владения ни одной 10-летней облигацией. Лестница обеспечивает преимущества ликвидности (облигации погашаются периодически) и позволяет точно устанавливать таргетированную дюрацию. Управляющий портфелем, ориентирующийся на дюрацию 8,0, может скорректировать веса между облигациями A и B для достижения точной цели, используя простую линейную алгебру.
Практическое применение
▾
Иммунизация портфеля облигаций: сопоставление продолжительности активов и продолжительности обязательств пенсионных фондов и страховых компаний. Это приложение обычно используется профессионалами, которым необходим точный количественный анализ для поддержки принятия решений, составления бюджета и стратегического планирования в своих областях.
Хеджирование процентных ставок: расчет коэффициентов хеджирования казначейских фьючерсов или процентных свопов с использованием DV01. Специалисты отрасли полагаются на этот расчет для оценки производительности, сравнения альтернатив и обеспечения соответствия установленным стандартам и нормативным требованиям.
Управление рисками с фиксированным доходом: расчет продолжительности портфеля и лимитов DV01 для торговых отделов. Академические исследователи и студенты используют эти вычисления для проверки теоретических моделей, выполнения курсовых заданий и более глубокого понимания основных математических принципов.
Разработка стратегии инвестиций, ориентированных на обязательства (LDI), для активов пенсионных планов с установленными выплатами. Финансовые аналитики и специалисты по планированию включают эти расчеты в свой рабочий процесс для получения точных прогнозов, оценки сценариев риска и представления рекомендаций на основе данных заинтересованным сторонам.
Регулятивный капитал: расчет капитала с учетом процентного риска на основе дюрации в соответствии со стандартами Basel III Pillar 1 и IRRBB. Это приложение обычно используется профессионалами, которым необходим точный количественный анализ для поддержки принятия решений, составления бюджета и стратегического планирования в своих областях.
Особые случаи
▾
На практике этот крайний случай требует тщательного рассмотрения, поскольку стандартные предположения могут не выполняться. Столкнувшись с этим сценарием при расчетах с помощью калькулятора дюрации и выпуклости облигаций, специалисты-практики должны проверить граничные условия, проверить наличие рисков деления на ноль и рассмотреть, остаются ли предположения модели действительными в этих экстремальных условиях.
На практике этот крайний случай требует тщательного рассмотрения, поскольку стандартные предположения могут не выполняться. Столкнувшись с этим сценарием при расчетах с помощью калькулятора дюрации и выпуклости облигаций, специалисты-практики должны проверить граничные условия, проверить наличие рисков деления на ноль и рассмотреть, остаются ли предположения модели действительными в этих экстремальных условиях.
На практике этот крайний случай требует тщательного рассмотрения, поскольку стандартные предположения могут не выполняться. Столкнувшись с этим сценарием при расчетах с помощью калькулятора дюрации и выпуклости облигаций, специалисты-практики должны проверить граничные условия, проверить наличие рисков деления на ноль и рассмотреть, остаются ли предположения модели действительными в этих экстремальных условиях.
Типичная дюрация и выпуклость в зависимости от типа облигации (приблизительные ставки на 2024 год)
▾
| Тип облигации | Зрелость | Измененная продолжительность | Выпуклость | Чувствительность цены к +100 б.п. |
|---|---|---|---|---|
| 3-месячный казначейский вексель | 3 месяца | 0.25 | 0.06 | −0,25% |
| 2-летние казначейские билеты | 2 года | 1.85 | 3.9 | −1,85% |
| 5-летние казначейские билеты | 5 лет | 4.40 | 21.0 | −4,40% |
| 10-летние казначейские облигации | 10 лет | 7.95 | 79.5 | −7,55% |
| 30-летние казначейские облигации | 30 лет | 16.50 | 367.0 | −14,66% |
| 10-летняя облигация с нулевым купоном | 10 лет | 9.52 | 98.0 | −9,05% |
| Корпоративные облигации IG (10 лет) | 10 лет | 7.40 | 72.0 | −7,04% |
| Высокодоходные облигации (5 лет) | 5 лет | 3.80 | 16.5 | −3,61% |
| Транзитный MBS | ~30 лет номинально | 3,0 – 5,0 | Отрицательный | от −3% до −5% |
Часто задаваемые вопросы
▾
В чем практическая разница между Маколеем и модифицированной дюрацией?
Дюрация Маколея выражается в годах и представляет собой средневзвешенное время получения денежных потоков по облигациям — это мера времени, а не непосредственно мера чувствительности к цене. Модифицированная дюрация — это первая производная цены облигации по отношению к изменению доходности (деленная на цену), которая напрямую измеряет процентное изменение цены при изменении доходности на 1%. Для практических приложений — оценки того, насколько изменится стоимость облигации при изменении ставок, — модифицированная дюрация является подходящей мерой. Дюрация Маколея более полезна с концептуальной точки зрения (понимание сроков движения денежных средств) и для построения иммунизированных портфелей (сопоставление продолжительности активов с продолжительностью обязательств в годах).
Почему выпуклость имеет значение и когда она становится важной?
Выпуклость отражает кривизну отношений цена-доходность. Сама по себе продолжительность обеспечивает линейную аппроксимацию изменений цен, но фактическая кривая цена-доходность выпуклая — она изгибается вверх. Для небольших изменений доходности (менее 25 базисных пунктов) обычно достаточно дюрации. При более крупных изменениях доходности (50–200+ базисных пунктов) выпуклость становится все более существенной. Во время резкого изменения ставок в 2022 году (Федеральная резервная система повысила ставки на 425 базисных пунктов за год) инвесторы с правильно рассчитанной выпуклостью были гораздо точнее в оценке потерь портфеля, чем те, кто полагался только на дюрацию. Обычно желательна более высокая выпуклость, поскольку это означает, что облигация теряет меньше, когда ставки растут, и выигрывает больше, когда ставки падают.
Что такое отрицательная выпуклость и какие связи ее проявляют?
Большинство стандартных облигаций имеют положительную выпуклость: рост цен ускоряется, когда доходность падает, а потери цен замедляются, когда доходность растет. Отрицательная выпуклость действует наоборот: рост цен замедляется, когда доходность падает, а потери цен ускоряются, когда доходность растет. Это происходит с облигациями с возможностью отзыва (эмитент отзывает облигацию, когда ставки падают, ограничивая рост цен) и ценными бумагами, обеспеченными ипотекой (домовладельцы досрочно выплачивают ипотеку, когда ставки падают, сокращая срок действия ценной бумаги именно тогда, когда вы хотите, чтобы она была длинной). Обратные поплавки также могут иметь отрицательную выпуклость. Ценные бумаги с отрицательной выпуклостью обычно предлагают более высокую доходность, чтобы компенсировать инвесторам эту неблагоприятную характеристику.
Как дюрация используется при иммунизации портфеля облигаций?
Иммунизация — это стратегия сопоставления дюрации портфеля с дюрацией его целевых обязательств, чтобы изменения процентных ставок в равной степени влияли как на активы, так и на пассивы, оставляя профицит финансирования неизменным. Пенсионный фонд с обязательствами, имеющими эффективную продолжительность 12 лет, будет ориентироваться на портфель облигаций с модифицированной дюрацией 12 лет. Когда ставки повышаются, как стоимость активов, так и приведенная стоимость обязательств уменьшаются пропорционально, оставляя коэффициент финансирования примерно неизменным. Полная иммунизация также требует соответствия выпуклости: если выпуклость активов превышает выпуклость пассивов, портфель находится в положительной позиции (прибыль от любого изменения доходности). Стратегии инвестиций, ориентированных на обязательства (LDI), используемые пенсионными фондами и страховыми компаниями, построены на этой основе.
Что такое долларовая дюрация (DV01) и как она используется?
Долларовая дюрация, обычно выражаемая как DV01 (долларовая стоимость базисного пункта) или PVBP (ценовая стоимость базисного пункта), измеряет изменение цены облигации в долларовом выражении при изменении доходности на 1 базисный пункт (0,01%). DV01 = Модифицированная дюрация × Цена облигации × 0,0001. Например, облигация с модифицированной дюрацией 8 и ценой 1 000 000 долларов США имеет DV01 = 8 × 1 000 000 долларов США × 0,0001 = 800 долларов США. DV01 широко используется трейдерами с фиксированным доходом и портфельными менеджерами для определения размера позиций, расчета коэффициентов хеджирования и передачи информации о риске в долларовом выражении, а не в процентах, что более интуитивно понятно для крупных портфелей и торговых отделов.
Как ставка купона влияет на продолжительность?
Более высокие купонные ставки приводят к более короткой дюрации, а более низкие (или нулевые) купонные ставки приводят к большей дюрации для облигаций с одинаковым сроком погашения. Это связано с тем, что более высокие купоны означают, что инвестор получает большую часть общих денежных потоков раньше (в виде промежуточных купонных выплат), сокращая средневзвешенное время до получения денежного потока (Продолжительность Маколея). Таким образом, облигация с высоким купоном менее чувствительна к процентным ставкам, чем облигация с низким купоном того же срока погашения. Это соотношение объясняет, почему облигации с нулевым купоном имеют максимально возможную дюрацию (равную сроку погашения) для любого заданного срока погашения и уровня доходности.
Как уровень доходности влияет на длительность и выпуклость?
Продолжительность и выпуклость чувствительны к преобладающему уровню урожайности. Когда доходность низкая, дюрация обычно выше (поскольку ставки дисконтирования низкие, что делает отдаленные денежные потоки более ценными), а выпуклость также выше. Когда доходность высока, дюрация ниже, а выпуклость ниже. Это особенно актуально в нынешних условиях, когда ставки значительно выросли с почти нулевого уровня — портфели, которые, как казалось, имели высокий риск дюрации в 2020–2021 годах, теперь имеют меньшую эффективную дюрацию при более высоких уровнях доходности. Эта зависимость от доходности означает, что дюрация должна пересчитываться всякий раз, когда доходность существенно меняется, а статические оценки дюрации могут быстро устареть в условиях волатильности ставок.
Распространённые ошибки
▾
- !Путаете дюрацию Маколея (в годах, по времени) с модифицированной дюрацией (в годах, но на самом деле это показатель ценовой чувствительности) — они имеют разные интерпретации и использование.
- !Игнорирование выпуклости при больших изменениях доходности — если изменения доходности превышают 50 базисных пунктов, член выпуклости становится существенным и должен быть включен в оценки изменения цен.
- !Предполагая, что продолжительность постоянна — продолжительность меняется по мере изменения доходности, течения времени и получения денежных потоков; его необходимо регулярно пересчитывать для точного мониторинга рисков портфеля.
- !Применение модифицированной дюрации к облигациям со встроенными опционами (с правом досрочного погашения, с правом досрочного погашения, с ипотечным покрытием) — для этих ценных бумаг необходимо использовать дюрацию, скорректированную с учетом опциона (OAD), или эффективную дюрацию.
- !Использование только дюрации для сравнения портфелей облигаций с разными профилями выпуклости — два портфеля с одинаковой дюрацией, но очень разной выпуклостью имеют существенно разные профили риска в условиях нелинейных ставок.
Совет профессионала
Для практического управления рисками с фиксированным доходом используйте долларовую дюрацию (DV01), чтобы сообщить о риске в денежном, а не процентном выражении. Портфель с DV01 в размере 5000 долларов США меняется в стоимости на 5000 долларов США при каждом изменении доходности на базисный пункт, что сразу же интерпретируется трейдерами, риск-менеджерами и портфельными менеджерами.
Знаете ли вы?
Статья Фредерика Маколея 1938 года, в которой описывается продолжительность Маколея, была частью эпохального исследования процентных ставок в США, проведенного по заказу Национального бюро экономических исследований и охватывающего более чем столетие. Концепция продолжительности в значительной степени игнорировалась в течение почти трех десятилетий, пока теория иммунизации не возродила интерес к ней в 1960-х и 1970-х годах.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Источники
Получайте еженедельные советы по математике
Присоединяйтесь к подписчикам 12 000+, которые каждую неделю получают советы по калькулятору.