Что такое Credit Default Probability?
▾
Вероятность дефолта (PD) — это основная концепция измерения кредитного риска, отражающая вероятность того, что заемщик — будь то корпорация, финансовое учреждение, государство или физическое лицо — не сможет произвести предусмотренные договором платежи в течение определенного периода времени. PD является одним из трех фундаментальных параметров в базельской системе кредитного риска, наряду с убытком при дефолте (LGD) и риском при дефолте (EAD), и он определяет как ожидаемые убытки, так и расчеты нормативного капитала. Существует три основных подхода к оценке PD. Структурный подход, впервые предложенный Робертом Мертоном в 1974 году, моделирует акционерный капитал компании как опцион на покупку ее активов: дефолт происходит, когда стоимость активов падает ниже номинальной стоимости долга («барьер дефолта») при наступлении срока погашения. Расстояние до дефолта (DD) — измеряемое в стандартных отклонениях стоимости актива от барьера дефолта — является ключевым результатом, а PD оценивается на основе нормального распределения этого расстояния. Модель Moody's KMV является ведущей коммерческой реализацией структурного подхода Мертона, использующей оценочную стоимость активов и волатильность для расчета ожидаемой частоты дефолта (EDF). Подход сокращенной формы (интенсивности) рассматривает дефолт как неожиданное событие, определяемое уровнем риска λ (мгновенная условная вероятность дефолта), который может быть откалиброван по рыночным ценам свопов кредитного дефолта (CDS) или кредитных спредов по облигациям. ПД на горизонте T = 1 − e^(−λT). Этот подход более гибок, чем структурная модель, и может включать изменяющуюся во времени интенсивность дефолта. Подходы, основанные на кредитном рейтинге (включая модели логистической регрессии, модели рейтинговых агентств и модели машинного обучения), оценивают PD на основе финансовых характеристик заемщика: коэффициентов левереджа, прибыльности, коэффициентов покрытия, ликвидности, размера и отрасли. Исторические показатели дефолта рейтинговых агентств обеспечивают эмпирическое сопоставление кредитного рейтинга с исторической вероятностью дефолта на различных горизонтах. Точная оценка вероятности дефолта важна для ценообразования по кредитам (кредитный спред должен компенсировать ожидаемый убыток = PD × LGD), расчета нормативного капитала (подход Basel IRB позволяет банкам использовать внутренние модели вероятности дефолта), управления кредитным риском портфеля и оценки кредитного риска контрагента в сделках с деривативами.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
Мертоновский PD: PD = N(−d2), где d2 = [ln(V/D) + (μ − σ_V²/2)T] / (σ_V √T)
Уровень опасности PD: PD(T) = 1 − e^(−λT)
Кредитный треугольник: λ ≈ Кредитный спред / LGD | CS ≈ PD × LGD / (1−PD)Описание переменных
▾
| Символ | Имя | Единица | Описание |
|---|---|---|---|
| PD | Вероятность дефолта | % | Вероятность дефолта в течение определенного периода времени (стандартно 1 год); основной параметр кредитного риска. |
| DD | Расстояние до значения по умолчанию | standard deviations | В модели Мертона: (Стоимость актива — точка по умолчанию) / (Объем актива × Стоимость актива); количество стандартных отклонений выше значения по умолчанию. |
| λ | Уровень опасности | per year | Мгновенная условная вероятность дефолта в единицу времени; используется в моделях сокращенной формы: PD = 1 − e^(−λT). |
| LGD | Убыток при дефолте | % | Ожидаемая доля потерь в случае дефолта; дополнение скорости восстановления. EL = PD × LGD × EAD. |
| CS | Кредитный спред | bps | Требуется дополнительная доходность выше безрисковой ставки; приблизительно CS ≈ λ × LGD для коротких сроков погашения (кредитный треугольник). |
Как Credit Default Probability
▾
- 1Выберите метод оценки: структурный (Мертон) для публичных компаний с данными о капитале; сокращенная форма для имен, торгуемых по CDS; на основе рейтинга для компаний с кредитными рейтингами.
- 2Для модели Мертона: оцените стоимость активов (V) и волатильность активов (σ_V) путем итеративного решения системы «капитал как опцион до востребования»; определить барьер дефолта (обычно текущие обязательства + 50% долгосрочного долга).
- 3Рассчитайте расстояние до значения по умолчанию: DD = (V − D) / (σ_V × V), где D — барьер по умолчанию.
- 4Преобразуйте DD в PD, используя нормальное распределение: PD = N(-DD) для нейтрального к риску показателя, или используйте эмпирическое отображение (как это делает Moody's KMV) для реальной PD.
- 5Для CDS/PD на основе спреда: получите рыночный кредитный спред, предположив LGD (обычно 40–60%); рассчитать уровень опасности λ = CS/LGD; вычислить PD(T) = 1 − e^(−λT).
- 6Для вероятности вероятности дефолта на основе рейтинга: найдите исторический средний совокупный уровень дефолта для кредитного рейтинга эмитента из ежегодных исследований дефолтов S&P или Moody's.
- 7Проверьте оценку вероятности дефолта на фоне рыночных цен, рейтингов рейтинговых агентств и компаний-аналогов. Совокупный ожидаемый убыток портфеля: EL = Σ PD_i × LGD_i × EAD_i.
Решённые примеры
▾
Компания находится на 1,41 стандартного отклонения выше дефолта — умеренный кредитный риск
d2 = [ln(100/70) + (0,05 − 0,25²/2)×1] / (0,25×√1) = [0,357 + 0,019] / 0,25 = 1,505. ПД = N(-1,505) ≈ 6,6%. Расстояние до DD по умолчанию = (100–70)/(0,25 × 100) = 1,20 стандартного отклонения. KMV Moody's сопоставляет это с эмпирическим EDF из своей исторической базы данных. 1,2 DD соответствует примерно 8–12% эмпирической вероятности дефолта через 1 год. Если фондовые рынки распродаются и волатильность активов возрастает до 35%, DD падает до 0,86, а PD подскакивает до 19% — демонстрируя, как условия на фондовом рынке напрямую влияют на кредитный риск.
Рынок CDS предполагает 22% вероятность дефолта в течение 5 лет
Уровень риска λ = CS / LGD = 300 б.п. / 60% = 500 б.п. = 5,0% в год. PD за 1 год = 1 - e^(-0,05×1) = 4,88%. 5-летняя PD = 1 — e^(-0,05×5) = 1 — e^(-0,25) = 22,1%. Эта подразумеваемая CDS вероятность вероятности является нейтральной к риску (включая премию за риск), поэтому реальная вероятность вероятности будет немного ниже. Спред CDS в 300 б.п. соответствует кредитному рейтингу BB, где исторические 5-летние совокупные ставки дефолта составляют в среднем примерно 10–15% — рынок CDS предполагает несколько более высокую ставку, отражающую премию за рыночный риск и премию за ликвидность.
На основе исторических данных S&P по дефолтам за более чем 40 лет по рейтингам.
Согласно ежегодному исследованию глобального корпоративного дефолта и изменения рейтингов, проведенному S&P в 2023 году, средний трехлетний совокупный уровень дефолта для эмитентов с рейтингом BB в 1981–2022 годах составляет примерно 8,2%. Годовые ставки дефолта: BB Год 1 ≈0,84%, Год 2 ≈1,65% маржинальный, Год 3 ≈1,72% маржинальный. Совокупные трехлетние ставки дефолта инвестиционного уровня намного ниже: AAA≈0,01%, AA≈0,05%, A≈0,13%, BBB≈0,55%. Эти эмпирические ставки представляют собой реальные вероятности вероятности (не нейтральные к риску) и используются непосредственно в расчетах ожидаемых убытков Basel IRB для кредитных портфелей.
Множественные финансовые коэффициенты, объединенные в логистическую регрессию, предсказывают PD
В модели логистической регрессии каждый финансовый коэффициент имеет коэффициент, рассчитанный на основе исторических данных по дефолту: долг/EBITDA (5,0x — высокий уровень левереджа добавляет риск), процентное покрытие (1,8x — низкое покрытие значительно увеличивает PD), коэффициент текущей ликвидности (0,9 — ниже 1,0 = отрицательный оборотный капитал добавляет риск) и размер прибыли (4% — низкая маржа обеспечивает небольшой буфер). Комбинированные логарифмические шансы дают вероятность вероятности примерно 12,5% — территория повышенного спекулятивного уровня. Этот заемщик получит внутренний рейтинг B или B−, что потребует ценообразования примерно на уровне LIBOR/SOFR + 400–500 б.п. и жестких ковенантных защитных соглашений.
Практическое применение
▾
Утверждение кредита и ценообразование для выдачи банковских кредитов (RAROC), позволяющее практикующим специалистам принимать обоснованные количественные решения на основе проверенных вычислительных методов и стандартных отраслевых подходов, что требует точного количественного анализа для поддержки обоснованных решений, стратегического распределения ресурсов и оптимизации производительности в различных организационных контекстах и профессиональных дисциплинах.
Расчет капитала IRB по Базелю II/III для кредитных портфелей, помогающий аналитикам получать точные результаты, которые поддерживают стратегическое планирование, распределение ресурсов и контроль производительности в организациях, где точные числовые вычисления необходимы для получения надежных результатов, которые служат основой для процессов планирования, оценки и постоянного улучшения как в корпоративных, так и в индивидуальных условиях.
МСФО (IFRS) 9/CECL предполагает резервирование кредитных убытков, что позволяет специалистам систематически оценивать результаты и сравнивать сценарии с использованием надежных математических основ и устоявшихся формул, что требует систематических подходов к расчетам, которые преобразуют необработанные входные данные в практические идеи для заинтересованных сторон, которые зависят от строгости количественных показателей в своей повседневной профессиональной деятельности.
Ценообразование и торговля кредитно-дефолтными свопами, поддержка процессов оценки на основе данных, где числовая точность необходима для соблюдения требований, отчетности и целей оптимизации, что требует надежных вычислительных методов, которые дают последовательные и проверяемые результаты, подходящие для отчетности, аудита и долгосрочного анализа тенденций в профессиональной среде.
Мониторинг кредитного риска портфеля облигаций и надзор за рейтингами, что требует точного количественного анализа для поддержки обоснованных решений, стратегического распределения ресурсов и оптимизации производительности в различных организационных контекстах и профессиональных дисциплинах.
Особые случаи
▾
На практике этот крайний случай требует тщательного рассмотрения, поскольку стандартные предположения могут не выполняться. Столкнувшись с этим сценарием при расчетах калькулятора вероятности кредитного дефолта, специалисты-практики должны проверить граничные условия, проверить риски деления на ноль и рассмотреть, остаются ли предположения модели действительными в этих экстремальных условиях.
Профессионалы, работающие с кредитными рисками, должны быть особенно внимательны к этому сценарию, поскольку при неправильном подходе он может привести к ошибочным результатам. Всегда проверяйте граничные условия и перекрестно проверяйте их независимыми методами, когда такой случай возникает на практике.
На практике этот крайний случай требует тщательного рассмотрения, поскольку стандартные предположения могут не выполняться. Столкнувшись с этим сценарием при расчетах калькулятора вероятности кредитного дефолта, специалисты-практики должны проверить граничные условия, проверить риски деления на ноль и рассмотреть, остаются ли предположения модели действительными в этих экстремальных условиях.
Средние ставки S&P по однолетним дефолтам по рейтингам (1981–2022 гг.)
▾
| Рейтинг | 1 год ПД | 3-летний ПД | 5-летний ПД | Описание |
|---|---|---|---|---|
| AAA | 0,00% | 0,01% | 0,04% | Высший инвестиционный уровень |
| AA | 0,02% | 0,06% | 0,12% | Очень высокое качество |
| A | 0,06% | 0,18% | 0,37% | Высокое качество |
| BBB | 0,16% | 0,55% | 1,10% | Отсечение инвестиционного уровня |
| BB | 0,84% | 3,41% | 7,18% | Высший спекулятивный рейтинг |
| B | 3,44% | 10,50% | 18,90% | Спекулятивный |
| ССС/С | 26,78% | 42,60% | 52,20% | Очень спекулятивный / огорченный |
Часто задаваемые вопросы
▾
В чем разница между нейтральным к риску ПД и реальным ПД?
Нейтральная к риску вероятность дефолта рассчитывается на основе рыночных цен (спреды CDS, доходность облигаций) и включает премию за риск помимо чистой вероятности дефолта — инвесторы требуют дополнительной компенсации за удержание риска дефолта. Реальная (физическая) вероятность дефолта — это фактическая историческая частота дефолтов для данной категории риска, обычно оцениваемая на основе данных рейтингового агентства или внутренних данных об исполнении банковских кредитов. Нейтральная к риску PD используется для ценообразования деривативов (CDS, кредитных деривативов) и должна соответствовать рыночным ценам. Реальная вероятность дефолта используется для расчета ожидаемых убытков по Базельскому стандарту, предоставления кредитов и управления рисками. Нейтральная к риску вероятность дефолта обычно в 1,5–3 раза выше реальной вероятности дефолта для эмитентов инвестиционного уровня, что отражает премию за кредитный риск.
Каковы подходы Базеля II/III к оценке ВД?
В рамках системы капитала кредитного риска Базеля II/III банки могут использовать: (1) стандартизированный подход — веса риска, предписанные регулирующими органами на основе внешних кредитных рейтингов, без внутренних оценок вероятности дефолта; (2) Foundation IRB (FIRB) — банки оценивают PD внутри себя, но используют надзорные LGD и EAD; (3) Расширенный IRB (AIRB) — банки оценивают PD, LGD и EAD, используя свои собственные внутренние модели, при условии соблюдения минимальных требований к данным и проверки со стороны регулирующих органов. AIRB обеспечивает самые низкие капитальные затраты для высококачественных кредитных портфелей, но требует многолетних данных по умолчанию, тщательной проверки модели и постоянного мониторинга эффективности модели. Большинство крупных международных банков используют AIRB для своих основных портфелей.
Какие финансовые коэффициенты лучше всего предсказывают корпоративный дефолт?
Z-Score Альтмана (1968) на основе дискриминантного анализа выявил пять ключевых предикторов корпоративного банкротства: оборотный капитал/общие активы, нераспределенная прибыль/общие активы, EBIT/общие активы, рыночная стоимость собственного капитала/балансовая стоимость совокупных обязательств и продажи/общие активы. Исследования, проведенные с тех пор, подтвердили, что к наиболее мощным индивидуальным предикторам относятся: кредитное плечо (долг/EBITDA, долг/активы), покрытие (EBIT/проценты, EBITDA/проценты), ликвидность (коэффициент текущей ликвидности, коэффициент быстрой ликвидности), рентабельность (ROA, рентабельность прибыли) и размер (более крупные фирмы имеют более низкие показатели дефолта при том же уровне кредитного плеча). Современные модели машинного обучения используют сотни финансовых и нефинансовых функций.
Как уровень выздоровления связан с БП?
Коэффициент возмещения (R) = 1 − LGD (убыток при дефолте). Коэффициент возмещения – это часть суммы риска, возмещенная после дефолта посредством процедуры банкротства, продажи активов или реструктуризации. Исторические темпы возмещения необеспеченных корпоративных облигаций в среднем составляют примерно 40% (LGD = 60%), но сильно различаются в зависимости от старшинства: старшие обеспеченные облигации возвращаются на 60–80%; старшие необеспеченные 35–55%; субординированные облигации 10–30%; капитал около нуля. Темпы возмещения отрицательно коррелируют с вероятностью дефолта — в периоды системных спадов, когда уровень дефолта резко возрастает, ставки возмещения одновременно снижаются (процикличность), увеличивая кредитные потери сверх того, что предполагают независимые оценки вероятности дефолта и LGD.
В чем различие ЧР «на протяжении цикла» и «на определенный момент времени»?
PD на протяжении всего цикла (TTC) оценивает среднюю вероятность дефолта в течение полного экономического цикла, сглаживая циклические колебания. Рейтинговые агентства используют рейтинги TTC — рейтинг BBB должен отражать аналогичный риск дефолта на протяжении всего цикла. PD на определенный момент времени (PIT) отражает текущие экономические условия и движется вместе с деловым циклом: PIT PD резко возрастает во время рецессий и сжимается в периоды бума. Базель требует, чтобы банки использовали TTC PD для расчета минимального капитала (чтобы избежать проциклического увеличения капитала), но PIT PD для резервирования ожидаемых кредитных убытков согласно МСФО (IFRS) 9/CECL (что требует перспективной оценки текущего состояния). Различие между PIT и TTC является источником значительных практических сложностей в управлении кредитным риском.
Как PD используется при ценообразовании по кредитам?
В ценообразовании по кредитам используется система рентабельности капитала с поправкой на риск (RAROC): взимаемый кредитный спред должен компенсировать ожидаемый убыток (EL = PD × LGD), а также обеспечивать адекватную прибыль на регулятивный капитал. Минимальный кредитный спред = (EL + Стоимость капитала × Требуемый капитал) / Сумма кредита. Для кредита сроком на 1 год: если PD = 2%, LGD = 50%, EL = 1,0%. Если требуемый капитал = 8% кредита, при 15% требуемого дохода: стоимость капитала = 8% × 15% = 1,2%. Минимальный спред = 1,0% + 1,2% = 2,2% (220 б.п.). Эта структура RAROC гарантирует, что кредиты выдаются только тогда, когда спред покрывает ожидаемые убытки и обеспечивает адекватную доходность собственного капитала.
Может ли машинное обучение улучшить прогнозирование ВР по сравнению с традиционными моделями?
Модели машинного обучения — повышение градиента (XGBoost), случайные леса, нейронные сети — часто достигают более высокой точности прогнозирования (измеряемой коэффициентом AUC/Gini), чем логистическая регрессия для прогнозирования частичной разрядки, особенно с большими наборами данных, содержащими множество нелинейных взаимодействий между функциями. Однако они сталкиваются с проблемами кредитного риска: нормативными требованиями объяснимости (руководство SR 11-7 требует от банков понимать и объяснять результаты модели), управлением моделью и риском переподгонки к историческим моделям, которые могут не сохраниться. Гибридные подходы — использование машинного обучения для разработки функций и выбора переменных с логистической регрессией для окончательной модели — распространены в регулируемых банковских средах.
Распространённые ошибки
▾
- !Путать нейтральную к риску вероятность дефолта (от CDS) с реальной вероятностью дефолта — они отличаются премией за кредитный риск и не должны смешиваться в расчетах.
- !Использование PD на определенный момент времени для расчетов капитала по Базельскому стандарту (следует использовать сквозной цикл) или TTC PD для резервов по МСФО (IFRS) 9 (следует использовать PIT).
- !Игнорирование корреляции между PD и LGD — во время спадов оба показателя ухудшаются одновременно, увеличивая фактические кредитные потери за пределы EL = PD × LGD.
- !Применение ставок корпоративного дефолта к розничным/потребительским кредитам без поправки на принципиально иные факторы риска.
- !Экстраполяция PD в краткосрочной перспективе на долгосрочную перспективу без учета миграции рейтингов с течением времени.
Совет профессионала
Всегда проверяйте свою модель вероятности вероятности с помощью коэффициента Джини/AUC (дискриминация — ранжирование заемщиков от лучшего к худшему риску) и калибровочных тестов (близки ли прогнозируемые вероятности дефолта к наблюдаемым показателям дефолта?). Модель, которая имеет хороший рейтинг, но плохо откалибрована, все равно может создавать недостаточные резервы.
Знаете ли вы?
Основная идея модели Мертона — рассматривать капитал фирмы как опцион на покупку ее активов — была опубликована в 1974 году, всего через год после формулы ценообразования опционов Блэка-Шоулза. Роберт Мертон получил Нобелевскую премию по экономике в 1997 году (вместе с Майроном Скоулзом) главным образом за эту работу, которая объединила теорию ценообразования опционов и кредитный риск в единую элегантную структуру.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Источники
- ›Мертон, Р.К. (1974): О ценообразовании корпоративного долга, Финансовый журнал.
- ›S&P Global: Ежегодное исследование глобального корпоративного дефолта и изменения рейтингов (2023 г.)
- ›Базельский комитет: Подход IRB к кредитному риску — Базель III
- ›McNeil, Frey & Embrechts: Количественное управление рисками — Глава о кредитном риске
Получайте еженедельные советы по математике
Присоединяйтесь к подписчикам 12 000+, которые каждую неделю получают советы по калькулятору.