Что такое Kelly Criterion Calculator?
▾
Критерий Келли — это математическая формула, которая определяет оптимальную долю банкролла или портфеля, которую следует выделить на выгодную ставку или инвестицию, чтобы максимизировать долгосрочный логарифмический рост богатства. Разработанная Джоном Л. Келли-младшим в Bell Labs в 1956 году в контексте теории информации и независимо примененная к азартным играм и инвестированию, формула Келли обеспечивает самый высокий долгосрочный совокупный темп роста среди всех стратегий ставок с фиксированной долей, гарантируя при этом, что вероятность разорения теоретически равна нулю (при непрерывных ставках с благоприятными коэффициентами). Для простой бинарной ставки с вероятностью выигрыша p (и вероятностью q = 1−p проигрыша), где выигрыш выплачивается с коэффициентом b (выигрыш b долларов за каждую ставку в долларах), оптимальная доля Келли равна: f* = (bp − q) / b = p − q/b. Эта доля представляет собой ожидаемую стоимость ставки, выраженную как часть банкролла. Ставки больше f* (овербет) уменьшают совокупный рост и увеличивают риск разорения; ставка меньше, чем f* (недооценка ставок) безопасна, но неоптимальна с точки зрения долгосрочной перспективы роста. Для непрерывных инвестиций (акции, портфели) формула Келли расширяется до: f* = (μ − r) / σ², где μ — ожидаемый доход, r — безрисковая ставка, а σ² — дисперсия доходности. Этот результат напрямую связан с коэффициентом Шарпа: f* = коэффициент Шарпа / σ, что означает, что оптимальное кредитное плечо Келли представляет собой коэффициент Шарпа, разделенный на волатильность. Для типичного диверсифицированного портфеля акций с Шарпом = 0,5 и σ = 15% Келли предлагает распределение 0,5/0,15 = 333%, что намного превышает 100%, что указывает на теоретический кредитный плечо. На практике полная дробь Келли используется редко, поскольку: (1) реальные оценки края и вероятности содержат значительную неопределенность, в результате чего истинное преимущество меньше расчетного (обычно дробное значение Келли составляет 25–50%); (2) полная Келли приводит к серьезным просадкам — ожидаемая максимальная просадка до удвоения составляет примерно 50% богатства; (3) у большинства инвесторов есть функции полезности, которые наказывают большие потери больше, чем предполагает логарифмическая полезность. Стратегии полу-Келли или четверти-Келли достигают 75% или 50% долгосрочных темпов роста Келли, при этом значительно сокращая просадку и дисперсию результатов. Критерий Келли широко используется в ставках на спорт, покере (профессиональные игроки используют его для управления банкроллом), торговле сырьевыми товарами и количественном управлении инвестициями. Легендарные инвесторы Уоррен Баффет и Чарли Мангер описали инвестиционные подходы, соответствующие принципам Келли, а «Критерий» лежит в основе новаторской работы Эдварда Торпа как в подсчете карт для блэкджека, так и в количественном управлении хедж-фондами.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
Фракция Келли (двоичная): f* = (b×p − q) / b = p − (1−p)/b
Фракция Келли (непрерывная): f* = (μ − r) / σ²
Скорость роста: g = p × ln(1 + b×f*) + (1−p) × ln(1 — f*)Описание переменных
▾
| Символ | Имя | Единица | Описание |
|---|---|---|---|
| f* | Келли Фракция | % | Оптимальная доля банкролла для ставок или инвестиций; максимизирует долгосрочный логарифмический рост богатства. |
| p | Вероятность победы | % | Предполагаемая вероятность благоприятного исхода; должна превышать вероятность безубыточности (1/(1+b)) для положительного края. |
| b | Чистое соотношение шансов | ratio | Чистый выигрыш на единицу ставки в случае выигрыша: если вы выиграете 3 доллара за ставку в 1 доллар, b=3. Должно быть положительным для потенциальной ставки. |
| EV | Ожидаемая стоимость | USD | Ожидаемая прибыль на единицу: EV = (p × b) − (1−p). Положительное EV необходимо (но недостаточно), чтобы Келли рекомендовал ставку. |
| g | Темпы роста | %/round | Долгосрочный сложный темп роста за раунд торговли при дроби Келли: g = p × ln(1+b×f*) + (1−p) × ln(1−f*). |
Как Kelly Criterion Calculator
▾
- 1Оцените вероятность p благоприятного исхода (на основе исторических данных, модели или анализа границ).
- 2Определите коэффициент b: чистый выигрыш на единицу ставки в случае успеха.
- 3Проверьте положительное математическое ожидание: EV = b×p − (1−p) > 0. Если EV ≤ 0, не делайте ставки (f* ≤ 0 означает, что Келли не рекомендует делать ставки).
- 4Вычислите дробь Келли: f* = (b×p − (1−p)) / b.
- 5При желании примените дробный метод Келли: обычно от f = 0,25 × f* до 0,5 × f* для более консервативного управления капиталом.
- 6Размер ставки: Сумма ставки = f* × Общий банкролл.
- 7Перерасчет после каждой ставки по мере изменения размера банкролла. Келли — это динамическая стратегия, в которой ставки пропорциональны текущему благосостоянию.
Решённые примеры
▾
Только 10% банкролла, несмотря на 55% винрейта — Келли консервативен
f* = (1,0 × 0,55–0,45)/1,0 = (0,55–0,45) = 0,10 = 10%. Сумма ставки = 10% × 10 000 долларов США = 1 000 долларов США. Ожидаемая стоимость ставки = (0,55 × 1000 долларов США) — (0,45 × 1000 долларов США) = 550 долларов США — 450 долларов США = 100 долларов США. Эта относительно небольшая доля (10%), несмотря на кажущееся большое преимущество (55% против справедливых 50%), отражает консерватизм Келли. Ставка на всю сумму в 10 000 долларов (100%) максимизирует ожидаемую ценность каждой ставки, но рискует разориться — серия из 10 последовательных проигрышей (вероятность ≈ 0,3%) приведет к уничтожению банкролла. Доля Келли в 10% делает долгосрочный рост оптимальным, но делает крах чрезвычайно маловероятным.
Высокая дисперсия в покере требует большого количества бай-инов даже при положительном преимуществе.
В покере формула риска разорения, связанная с Келли: P(разрушение) = e^(-2×W×B/V), где W=ставка выигрыша на руку, B=банкролл на больших блайндах, V=дисперсия на руку. При винрейте 55bb/100 = 0,55bb/рука, дисперсии = 100²/100 = 100 bb²/рука и банкролле B = 30 бай-инов × 100bb = 3000bb: P(разрушение) = e^(−2×0,0055×3000/100) = e^(−0,33) = 72% — ужасно! Профессиональные игроки в покер используют как минимум 30–50 бай-инов. При 50 бай-инах (5000bb): P(ruin) = e^(−0,55) = 58% — все еще высокий показатель. Анализ Келли показывает, что высокая дисперсия в покере требует очень больших банкроллов даже для выигрывающих игроков.
Полный Келли чрезвычайно агрессивен; большинство практикующих используют 25–50% Келли.
f* = (μ − r) / σ² = (0,10 − 0,05) / (0,20²) = 0,05 / 0,04 = 1,25 = 125%. Full Kelly рекомендует распределять 125% акций (25% заимствовать для инвестиций). Это оптимальная доля портфеля Мертона при логарифмической полезности. На практике истинный коэффициент Шарпа и σ неопределенны (ошибка оценки), поэтому фактическое преимущество меньше расчетного. Использование доли полукелли в размере 62,5% позволит достичь примерно 75% максимального темпа роста, одновременно значительно снизив риск просадки. Профессиональные квантовые фонды обычно используют 20–50% теоретического значения Келли для учета неопределенности оценки.
Мультиактивная система Kelly использует матричные операции с ковариационной матрицей.
Мультиактивный Келли: f* = Σ⁻¹ × α (альфа-вектор), где Σ — ковариационная матрица, а α — вектор избыточной доходности. Актив А имеет коэффициент Шарпа 1,0 и относительно низкую волатильность — Келли активно распределяет средства. Актив B имеет более низкий уровень Шарпа и более высокий объем — меньшее распределение по Келли. Положительная корреляция уменьшает общее распределение портфеля по сравнению с некоррелированным случаем (где f_total = 55% + 25% = 80%). Практические этапы реализации и ограничения: фонд «только для длинных позиций» будет распределять примерно 80% A, 20% B на уровне портфеля после нормализации. Мультиактивный метод Келли максимизирует долгосрочные темпы роста портфеля при совместном распределении доходов.
Практическое применение
▾
Управление банкроллом ставок на спорт для профессиональных игроков
Выбор ставок игрока в покер и управление банкроллом
Количественные модели определения размера позиций хедж-фондов
Распределение портфеля венчурного капитала по инвестиционным возможностям
Распределение капитала торгового алгоритма по параллельным стратегиям
Особые случаи
▾
На практике этот крайний случай требует тщательного рассмотрения, поскольку стандартные предположения могут не выполняться. Столкнувшись с этим сценарием при расчетах с использованием калькулятора критерия Келли, специалисты-практики должны проверить граничные условия, проверить наличие рисков деления на ноль и рассмотреть, остаются ли предположения модели действительными в этих экстремальных условиях.
На практике этот крайний случай требует тщательного рассмотрения, поскольку стандартные предположения могут не выполняться. Столкнувшись с этим сценарием при расчетах с использованием калькулятора критерия Келли, специалисты-практики должны проверить граничные условия, проверить наличие рисков деления на ноль и рассмотреть, остаются ли предположения модели действительными в этих экстремальных условиях.
На практике этот крайний случай требует тщательного рассмотрения, поскольку стандартные предположения могут не выполняться. Столкнувшись с этим сценарием при расчетах с использованием калькулятора критерия Келли, специалисты-практики должны проверить граничные условия, проверить наличие рисков деления на ноль и рассмотреть, остаются ли предположения модели действительными в этих экстремальных условиях.
Kelly Fraction против долгосрочного компромисса в темпах роста
▾
| Келли Множественный | Темп роста (% от Келли) | Серьезность просадки | Типичный пользователь |
|---|---|---|---|
| Полная Келли (1,0 ×) | 100% | Тяжелая (~50% ожидаемого максимального ДД) | Теоретический оптимальный |
| Половина Келли (0,5 ×) | 75% | Умеренный (максимум ~25% ДД) | Агрессивные квантовые фонды |
| Четверть Келли (0,25×) | 44% | Легкая степень (максимум ~ 12% СД) | Консервативные практики |
| 10-я Келли (0,1 ×) | 19% | Очень низкий (максимум ~5% DD) | Управление рисками, направленное на предотвращение риска |
| 2× Келли (овербет) | 0% | Экстрим — тенденция к разорению | Опасная зона — избегайте |
| 3× Келли (овербет) | Отрицательный | Почти неизбежный крах | Катастрофический |
Часто задаваемые вопросы
▾
Почему полный Келли редко используется на практике?
Полный Келли максимизирует долгосрочный логарифмический рост, но дает очень агрессивный размер позиции и серьезные просадки. Ожидаемая максимальная просадка до того, как богатство удвоится, составляет примерно 50% от текущего богатства — это означает, что вы должны ожидать, что в какой-то момент вы потеряете половину своих денег, прежде чем удвоиться. У большинства инвесторов функция полезности более склонна к риску, чем логарифмическая, что налагает больший штраф на большие потери. Кроме того, реальные оценки преимущества неопределенны: если ваше истинное преимущество составляет половину предполагаемого преимущества, полный Келли становится значительным овербетом. Half-Kelly достигает примерно 75% темпа роста Kelly с гораздо меньшей дисперсией и максимальной просадкой. Профессиональные квантовые фонды обычно используют 20–50% Kelly.
Какова связь между критерием Келли и коэффициентом Шарпа?
Для непрерывных инвестиций с нормально распределенной доходностью оптимальное кредитное плечо Келли составляет: f* = коэффициент Шарпа / σ = (μ − r) / σ². Это означает, что доля Келли увеличивается с увеличением коэффициента Шарпа (более высокий край оправдывает больший размер) и уменьшается с волатильностью (более высокий объем означает больший риск отклонения). Максимальный долгосрочный темп роста (рост Келли) равен безрисковой ставке плюс (Шарп²)/2 — таким образом, рост Келли прямо пропорционален квадрату коэффициента Шарпа. Именно из-за этой взаимосвязи коэффициент Шарпа является единственным наиболее важным показателем для инвесторов, оптимальных по Келли: стратегия с удвоенным коэффициентом Шарпа обеспечивает четырехкратный прирост темпов роста.
Может ли критерий Келли привести к разорению?
Теоретически критерий Келли имеет нулевую вероятность разорения в долгосрочной перспективе для благоприятной ставки с непрерывными исходами с положительной вероятностью (геометрическое случайное блуждание почти наверняка сходится к бесконечности). Однако на практике риск разорения существует из-за: (1) дискретных (не делящихся до бесконечности) ставок, которые могут превышать долю Келли в относительном выражении; (2) ошибка модели — истинная вероятность и шансы могут быть менее благоприятными, чем предполагалось; (3) полосовой риск — при полном Келли длинные полосы неудач вызывают экстремальные просадки даже без разорения; (4) кредитное плечо — если доля Келли превышает 100% (как в приложениях на фондовом рынке), заемные средства создают конечную вероятность разорения. На практике для управления всеми этими рисками предпочтительны стратегии дробного Келли.
Как критерий Келли обрабатывает коррелированные ставки?
Что касается одиночной ставки, Келли прямолинеен. Для портфеля одновременно активных ставок или инвестиций метод Келли с несколькими активами использует матричную алгебру: f* = Σ⁻¹ × α, где Σ — ковариационная матрица доходности, а α — вектор ожидаемой избыточной доходности. Ставки с положительной корреляцией уменьшают общее распределение Келли по сравнению с некоррелированными ставками — управляющий портфелем должен уменьшать размер ставок, когда ставки коррелируют, поскольку корреляция увеличивает риск просадки. Ставки с отрицательной корреляцией позволяют увеличить общее распределение. Это математическое обоснование того, почему диверсификация (отрицательная/низкая корреляция между позициями) позволяет более полное размещение капитала без ущерба для безопасности.
Что такое стратегия «дробного Келли»?
Дробный Келли ставит фиксированную долю от полной суммы Келли — обычно от 25% (четверть Келли) до 50% (половина Келли). Полу-Келли достигает примерно 75% максимальных долгосрочных темпов роста при: (1) снижении дисперсии портфеля до 25% дисперсии Келли; (2) уменьшение вдвое максимальной ожидаемой просадки; (3) обеспечение существенного буфера против ошибок оценки края и вероятности. Зависимость является квадратичной: ставки на долю c от Келли достигают доли c(2−c) максимальной скорости роста Келли (всегда меньше 100%), поэтому штраф на скорость роста от недооценки намного меньше, чем выгода от уменьшения дисперсии. Эта асимметрия объясняет, почему дробный Келли доминирует над полным Келли для практического управления рисками.
Кто профессионально использует критерий Келли?
Критерий Келли был явно принят на вооружение или оказал влияние на несколько легендарных инвестиционных карьер. Эдвард Торп — профессор математики, который изобрел подсчет карт в блэкджеке — строго применял Келли как к азартным играм (описанным в книге «Обыграй дилера»), так и к своему хедж-фонду Princeton/Newport Partners, которым он управлял в течение 19 лет и демонстрировал исключительную прибыль с поправкой на риск. Философия сосредоточенного определения размера позиции Уоррена Баффета отражает мышление Келли: делайте крупные ставки, когда у вас есть высокая убежденность и истинное преимущество. Профессиональные игроки, делающие ставки на спорт, и игроки в покер используют Келли исключительно для управления банкроллом. Количественные хедж-фонды, такие как Renaissance Technologies, неявно используют концепции оптимальных дробей, связанные с Келли, в своих систематических торговых стратегиях.
В чем опасность «переигрывания» с Келли?
Чрезмерная ставка — ставка больше, чем доля Келли — хуже, чем недостаточная ставка, как с точки зрения темпов роста, так и с точки зрения вероятности разорения. При значении ровно 2× Келли (двойной Келли) долгосрочный темп роста падает до нуля — стоимость счета колеблется вокруг определенного уровня, не увеличиваясь. За пределами 2 × Келли темп роста становится отрицательным — счет практически наверняка в конечном итоге потеряет всякую ценность. Эта резкая асимметрия (недостаточная ставка просто неоптимальна, а овербет может быть катастрофической) делает Келли важной верхней границей размера позиции. На практике, когда модель предлагает долю Келли, очень близкую к 100% или превышающую ее, рассматривайте это как сигнал к агрессивному применению дробного коэффициента Келли из-за повышенного риска переоценки.
Распространённые ошибки
▾
- !Использование полного Келли без учета неопределенности оценки края и вероятности — всегда применяйте дробный Келли (25–50%) в реальных приложениях.
- !Игнорирование структуры корреляции при определении размера нескольких одновременных позиций — коррелирующие ставки требуют уменьшения отдельных фракций Келли.
- !Применение Келли к ставкам с отрицательным ожидаемым значением — в этих случаях Келли правильно дает f* ≤ 0 (ставка отсутствует).
- !Относитесь к Келли как к правилу фиксированного размера ставки: его следует каждый раз применять к текущему богатству, пропорционально уменьшая ставки по мере падения богатства.
- !Предполагая, что Келли достигает максимальной ожидаемой доходности в долларах, он максимизирует логарифмический (геометрический) рост, а не арифметический ожидаемый доход.
Совет профессионала
Запустите симуляцию Монте-Карло 1000 путей и более 100 ставок, используя полный Келли, половину Келли и четверть Келли. Распределение результатов конечного богатства визуально демонстрирует как превосходящую центральную тенденцию Келли, так и катастрофическую обратную сторону чрезмерных ставок - гораздо более убедительно, чем одни только формулы.
Знаете ли вы?
Джон Келли-младший опубликовал свой критерий в статье «Новая интерпретация скорости передачи информации» в 1956 году в Техническом журнале Bell System, формулируя результат с точки зрения теории информации и пропускной способности канала связи, а не азартных игр. В газете вообще не упоминались азартные игры. Эд Торп признал ее применимость в блэкджеке, а затем и на фондовом рынке, эффективно переведя Келли из теории информации в практический инвестиционный менеджмент.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Источники
- ›Келли, Дж.Л. (1956): Новая интерпретация скорости передачи данных, Технический журнал Bell System
- ›Торп, Э.О. (2006): Критерий Келли в блэкджеке, ставках на спорт и фондовом рынке.
- ›Маклин, Торп и Зиемба: Инвестиционный критерий роста капитала Келли, World Scientific
- ›Инвестопедия: Определение критерия Келли
Получайте еженедельные советы по математике
Присоединяйтесь к подписчикам 12 000+, которые каждую неделю получают советы по калькулятору.