Что такое Ruin Probability Calculator?
▾
Вероятность разорения (также называемая вероятностью разорения, разорением игрока или риском разорения) — это вероятность того, что игрок, трейдер или предприятие исчерпает весь свой капитал до достижения определенного целевого уровня благосостояния. Это основополагающая концепция теории вероятностей, актуарной науки и управления торговыми рисками, отвечающая на вопрос: при наличии стартового капитала, преимущества на ставку или сделку и целевого уровня благосостояния, какова вероятность обанкротиться до достижения цели? Классическая проблема разорения игрока, формализованная математиками, в том числе Блезом Паскалем и Христианом Гюйгенсом в 17 веке, рассматривает игрока со стартовым капиталом $k, который играет в игру против противника с капиталом $N−k (общая сумма ставок на столе = $N). При вероятности p выигрыша каждой ставки (и q=1−p проигрыша) вероятность разорения (проигрыша всех $k до достижения $N) имеет элегантное решение в замкнутой форме. Когда p = q = 0,5 (честная игра), вероятность разорения = (N−k)/N. Для неблагоприятной игры (q > p) проигрыш почти неизбежен при больших N. В трейдинге вероятность разорения обычно рассчитывается как вероятность потерять весь капитал до того, как он будет кратен стартовому капиталу. Использование непрерывного приближения: P(разрушение) = e^(−2× Edge × Capital/Variance), где Edge = средняя доходность за сделку (или период), Capital = стартовый капитал и Variance = дисперсия доходности за сделку. Эта формула показывает, что вероятность разорения экспоненциально уменьшается при: (1) увеличении стартового капитала по сравнению с размером ставки; (2) более высокий край; и (3) более низкая дисперсия. Вот почему правило 1% в трейдинге — риск только 1% капитала на сделку — значительно снижает вероятность разорения по сравнению с риском 5% или 10% на сделку. В страховании и актуарной науке теория разорения (модель Крамера-Лундберга) изучает, станет ли когда-либо профицит страховщика (резерв капитала) отрицательным, учитывая доход от премий, доход от инвестиций и случайные выплаты по претензиям. Неравенство Крамера-Лундберга дает верхнюю границу вероятности разорения страховых портфелей. Анализ вероятности разорения также используется в бизнес-финансах для оценки того, как долго стартап или бизнес сможет выжить при своем текущем балансе денежных средств, учитывая его скорость сгорания и траекторию доходов, а также в личных финансах для оценки вероятности того, что пенсионер исчерпает свой портфель перед смертью при различных сценариях расходов и доходов.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
Дискретный (p ≠ 0,5): P(руины) = [(q/p)^N - (q/p)^k] / [(q/p)^N - 1]
Честная игра (p=0,5): P(разорение) = 1 − k/N
Непрерывное приближение: P(руины) = exp(−2 × μ × k / σ²)Описание переменных
▾
| Символ | Имя | Единица | Описание |
|---|---|---|---|
| k | Стартовый капитал | USD | Начальное богатство или банкролл; измеряется в единицах размера ставки для формулы разорения дискретного игрока. |
| p | Вероятность победы | % | Вероятность выигрыша каждой ставки или сделки; если p > 0,5 (или p > порог безубыточности), имеется положительный фронт. |
| N | Целевой капитал | USD | Цель богатства; в классическом проигрыше игрока - ставка стола (точка, в которой вместо этого разоряется противник). |
| P_ruin | Вероятность разрушения | % | Вероятность потери всего капитала до достижения цели N. Приближается к 1,0 для неблагоприятных игр (p < 0,5). |
| E_dur | Ожидаемая продолжительность | bets/trades | Ожидаемое количество ставок/сделок до того, как произойдет разорение или достижение цели N; отражает продолжительность игры. |
Как Ruin Probability Calculator
▾
- 1Определите стартовый капитал k (в единицах минимальной ставки или торгового риска), целевой капитал N и сумму ставки/риска на игру.
- 2Оцените преимущество (p = вероятность выигрыша каждой ставки). Для торговли используйте коэффициент выигрыша, скорректированный с учетом соотношения размеров выигрыша и проигрыша.
- 3Примените соответствующую формулу разорения: дискретное разорение игрока для бинарных ставок; непрерывная аппроксимация для торговли с переменной доходностью.
- 4Для торговли: P(разрушение) = exp(-2 × средний_прибыль × стартовый_капитал / дисперсия_на_торговлю).
- 5Анализ чувствительности: как изменится вероятность разорения, если стартовый капитал удвоится? Если край уменьшен вдвое? Если дисперсия увеличится?
- 6Вычислите ожидаемую продолжительность (сколько раундов до определения результата): E = k × (N−k) / |2p−1| × 1/(p−0,5) для p≠0,5.
- 7Используйте вероятность разорения, чтобы установить минимальные требования к капиталу, максимальные размеры ставок и соответствующий процент риска на сделку.
Решённые примеры
▾
Даже при «всего» перевесе казино в 2,63% разорение на этом уровне почти неизбежно.
q/p = (1−0,4737)/0,4737 = 0,5263/0,4737 = 1,1111. P(руины) = [(1,1111)^200 - (1,1111)^100] / [(1,1111)^200 - 1]. Член (1,1111)^200 астрономически велик и доминирует в числителе и знаменателе: P(руины) ≈ 1 - (1,1111)^(-100) = 1 - e^(-100 × ln1,1111) ≈ 1 - e^(-10,54) ≈ 88,6%. Шанс удвоить 100 долларов в рулетке составляет всего 11,4%. Это иллюстрирует, почему казино выигрывают: небольшое преимущество казино, умноженное на множество ставок, почти наверняка приводит к разорению игрока.
Положительное преимущество при контролируемом размере = очень низкая вероятность разорения
За сделку: ожидаемая прибыль = 0,55 × 300 долларов США — 0,45 × 200 долларов США = 165 долларов США — 90 долларов США = 75 долларов США (примечание: выигрыш: прибыль от выигрыша 1,5 × 200 долларов США = 300 долларов США). Среднее значение = 75 долларов США, дисперсия = E[X²] − E[X]² = (0,55 × 300 долларов США² + 0,45 × 200 долларов США²) − 75 долларов США = (49 500 + 18 000) − 5 625 = 61 875 долларов США. P(руины) ≈ exp(−2 × $75 × $10 000 / $61 875) = exp(−24,24) ≈ 0,0000000036 — практически ноль! Даже при риске всего 2% на сделку и скромном преимуществе вероятность разорения незначительна. Сравните с риском 10% на сделку (1000 долларов США): P(разрушение) ≈ exp(−2 × 75 × 10 000 долларов США / 61 875 долларов США), где капитал теперь составляет всего 10 единиц: exp (−2 × 75 × 10/61875) — все еще незначительно, поскольку мы правильно масштабировали.
Разрушение стартапа здесь детерминировано: необходим рост доходов или новое финансирование.
Чистый расход = 50 000 долларов США в месяц. Runway = $500 000 / $50 000 = 10 месяцев — деньги у стартапа заканчиваются за 10 месяцев без изменений. Чтобы выжить в течение 18 месяцев до целевого сбора средств серии A (N = 18 месяцев денежных средств при начальной скорости сжигания = необходимо 900 000 долларов США), стартапу необходим либо рост выручки на 80%, чтобы сократить чистое сжигание до 0 долларов США, либо дополнительное финансирование. Это иллюстрирует, почему инвесторы так сильно заботятся о скорости сгорания стартапов и взлете: крах (выплата денег до следующего финансирования) — это буквально конец компании.
20%-ная защитная загрузка с профицитом в 1 миллион долларов обеспечивает почти нулевую вероятность разорения
В соответствии с моделью Крамера-Лундберга верхняя граница вероятности разорения равна P(ruin|surplus=u) ≤ e^(−Ru), где R — поправочный коэффициент (положительный корень уравнения Лундберга). При 20%-ной нагрузке безопасности и экспоненциальных заявлениях со средним значением 10 000 долларов США: R = θ/(μ(1+θ)) = 0,20/(10 000×1,20) ≈ 1,67×10⁻⁵. P(руины) ≤ e^(−1,67×10⁻⁵×1 000 000) = e^(−16,7) ≈ 5,6×10⁻⁸ — практически ноль. Это подтверждает, что адекватный профицит и нагрузка премий создают почти идеальную финансовую стабильность страховой компании при типичных предположениях по убыткам.
Практическое применение
▾
Управление рисками торговой системы и минимальные требования к капиталу, представляющие собой важную область применения вероятности разорения в профессиональном и аналитическом контексте, где точные расчеты вероятности разорения напрямую поддерживают принятие обоснованных решений, стратегическое планирование и оптимизацию производительности.
Анализ взлетно-посадочной полосы стартапа и планирование этапов финансирования, что представляет собой важную область применения вероятности банкротства в профессиональном и аналитическом контексте, где точные расчеты вероятности банкротства напрямую поддерживают принятие обоснованных решений, стратегическое планирование и оптимизацию производительности.
Регулирование достаточности профицита и платежеспособности страховых компаний, представляющее собой важную область применения вероятности разорения в профессиональном и аналитическом контексте, где точные расчеты вероятности разорения напрямую поддерживают принятие обоснованных решений, стратегическое планирование и оптимизацию производительности.
Вероятность истощения пенсионного портфеля (риск последовательности доходности), представляющая собой важную область применения вероятности разорения в профессиональном и аналитическом контексте, где точные расчеты вероятности разорения напрямую поддерживают принятие обоснованных решений, стратегическое планирование и оптимизацию производительности.
Профессионалы отрасли полагаются на вероятность банкротства для операционных расчетов вероятности банкротства, результатов работы клиентов, составления отчетов о соответствии нормативным требованиям и стратегического планирования в бизнес-контекстах, где точность вероятности банкротства напрямую влияет на финансовые результаты и эффективность организации.
Особые случаи
▾
{'case': 'Стратегия Мартингейла', 'объяснение': 'Ставки по мартингейлу (удвоение после каждого проигрыша) имеют нулевую вероятность разорения в теории (при бесконечном капитале), но почти наверняка разорение на практике из-за конечных ограничений стола и капитала. Для серии проигрышей всего из 10 требуется 2^10 = 1024× от начальной ставки, что быстро превышает любую реалистичную базу капитала.'}
{'case': 'Бесконечный горизонт разрушения', 'объяснение': 'Для неблагоприятной игры (отрицательное преимущество) вероятность разорения на бесконечном временном горизонте равна ровно 1,0 — верный крах. Для благоприятной игры вероятность разорения на бесконечном горизонте равна нулю для фиксированных дробных ставок (непрерывный случай). Для фиксированного размера ставки, даже при положительном преимуществе, вероятность разорения на бесконечном горизонте положительна для дискретного случайного блуждания с ненулевой вероятностью немедленного разорения.'}
Когда входные значения вероятности разорения приближаются к нулю или становятся отрицательными в разделе Руины.
Когда входные значения вероятности разорения приближаются к нулю или становятся отрицательными в вероятности разорения, математическое поведение существенно меняется. Нулевые значения могут вызвать ошибки деления на ноль или тривиально нулевые результаты, в то время как отрицательные входные данные могут дать математически обоснованные, но практически бессмысленные выходные данные в контексте вероятности разорения. Профессиональные пользователи должны убедиться, что все входные данные находятся в пределах физически или финансово значимых диапазонов, прежде чем интерпретировать результаты. Отрицательные или нулевые значения часто указывают на ошибки ввода данных или обстоятельства исключительной вероятности разорения, требующие отдельной аналитической обработки.
Вероятность разорения по стартовому капиталу (единицам ставки) и преимуществу
▾
| Капитал (единиц) | Край=0% | Край=1% | Край=3% | Край=5% | Край=10% |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 единиц | 100% | 82% | 55% | 37% | 14% |
| 20 единиц | 100% | 67% | 30% | 14% | 2% |
| 50 единиц | 100% | 37% | 5% | 0,7% | 0,006% |
| 100 единиц | 100% | 14% | 0,25% | 0,05% | ~0% |
| 200 единиц | 100% | 2% | ~0% | ~0% | ~0% |
| 500 единиц | 100% | <0,1% | ~0% | ~0% | ~0% |
Часто задаваемые вопросы
▾
В чем проблема разорения игрока?
Классическая проблема разорения игрока: игрок с капиталом в $k долларов ведет честную игру против бесконечно богатого противника, делая ставку по 1 доллару за раунд. Вероятность потерять все $k до того, как противник разорится (что в случае с бесконечным противником означает вероятность окончательного разорения) равна 1,0 — верный разорение. Против конечного противника с общим капиталом $N (у игрока $k, у противника $N−k) вероятность разорения равна 1−k/N для честной игры. Этот результат имеет глубокие последствия: даже при нулевом преимуществе казино игрок с меньшим капиталом, чем «дом», в конечном итоге потеряет все свои деньги. Это математически объясняет, почему дом всегда выигрывает: у него больше капитала, и он может пережить любого отдельного игрока.
Как размер ставки влияет на вероятность разорения?
Размер ставки оказывает существенное влияние на вероятность разорения. Для фиксированного стартового капитала и положительного преимущества вероятность разорения равна примерно P(разорение) ≈ e^(−2×edge×capital_in_units_of_bet). Удвоение стартового капитала (или, что эквивалентно, уменьшение размера ставки вдвое) возводит в квадрат вероятность разорения: если P(разрушение) составляло 10%, оно становится 1% (примерно). Эта экспоненциальная чувствительность к соотношению размера ставки и капитала является математической основой правила 1% риска в трейдинге. Риск 1% на сделку означает 100 единиц капитала; вероятность разорения ≈ e^(−200×edge) — при любом положительном крае она практически равна нулю. Риск 10% на сделку означает всего 10 единиц; вероятность разорения ≈ e^(−20×edge) — гораздо выше.
Может ли вероятность разорения быть равна нулю?
Теоретически, для стартовой точки с бесконечным капиталом или игры, в которой вы никогда не сможете потерять все свои деньги (фиксированные дробные ставки, гарантирующие, что ставка уменьшается до нуля, когда богатство приближается к нулю), вероятность разорения может приближаться к нулю. В непрерывном приближении для торговли с фиксированной долей вероятность разорения технически равна нулю, поскольку размеры ставок уменьшаются пропорционально размеру счета — значение счета может асимптотически приближаться к нулю, но никогда не достигать его. На практике минимальные размеры позиции, транзакционные издержки и дискретная структура ставок означают, что некоторая положительная вероятность разорения всегда существует, даже для стратегий с положительным преимуществом. Практическая цель состоит в том, чтобы снизить вероятность разорения до приемлемо низкого уровня (< 1%), а не устранить ее.
Какова связь между вероятностью разорения и критерием Келли?
Критерий Келли и вероятность разорения глубоко связаны: доля Келли — это именно тот размер ставки, который минимизирует скорость уменьшения вероятности разорения по мере роста капитала. При дроби Келли геометрическая скорость роста капитала максимальна, а это означает, что богатство растет быстрее всего в направлении любой цели, одновременно сводя к минимуму вероятность разорения. Овербет (выше Келли) резко увеличивает вероятность разорения — при коэффициенте 2× Келли разорение становится неизбежным в долгосрочной перспективе. Недоставка (дробный Келли) снижает вероятность разорения ниже уровня Келли, но за счет замедления роста капитала. Критерий Келли можно получить путем минимизации вероятности разорения при условии максимизации долгосрочного роста.
Как вероятность разорения используется при пенсионном планировании?
В сфере личных финансов и пенсионного планирования вероятность разорения перефразируется как «вероятность истощения портфеля»: вероятность того, что портфель пенсионера упадет до нуля перед его смертью. Это оценивается с помощью моделирования Монте-Карло: сгенерируйте тысячи сценариев доходности инвестиций, инфляции и расходов и подсчитайте долю, в которой портфель исчерпан. «Правило 4%» (изъятие 4% первоначального портфеля ежегодно с поправкой на инфляцию) возникло в результате исторических исследований моделирования (Bengen 1994, Trinity Study 1998), показывающих примерно 95% вероятность успеха (вероятность разорения 5%) в течение 30-летних пенсионных периодов для портфеля акций/облигаций с соотношением 60/40.
Какие факторы сильнее всего влияют на вероятность разорения?
В порядке убывания влияния: (1) Размер ставки как доля капитала — самая мощная переменная; уменьшение размера ставки вдвое значительно снижает разорение; (2) Edge — положительное преимущество необходимо, если вероятность разорения ниже 50%; нулевой или отрицательный фронт всегда приводит к тому, что вероятность разорения приближается к 1; (3) Дисперсия результатов — более высокая дисперсия увеличивает вероятность разорения даже при одном и том же крае (отражает формулу Келли: риск разорения ∝ 1/край × дисперсия); (4) Стартовый капитал в единицах размера ставки — больше единиц капитала означает меньший разорение; (5) Целевой капитал — больший требуемый доход (более высокий N) увеличивает вероятность разорения. Практический вывод: держите размер ставки небольшим, имейте положительное преимущество и начинайте с достаточного капитала.
Как вероятность разорения влияет на платежеспособность бизнеса?
В контексте бизнеса вероятность разорения — это вероятность неплатежеспособности — отрицательный капитал или неспособность выполнить обязательства. Для предприятий «ставка» — это денежный поток каждого операционного периода, который имеет ожидаемое значение (операционная прибыль) и дисперсию (волатильность денежного потока). Стартовый капитал – это резервный капитал и кредитная линия. Цель — выжить до прибыльности или следующего раунда финансирования. При стабильном положительном денежном потоке (положительное преимущество, низкая дисперсия) вероятность разорения мала. Для циклических предприятий отклонение денежных потоков велико, что требует больших резервов капитала. Вот почему банки требуют минимальных коэффициентов достаточности капитала — они неявно устанавливают максимальную вероятность разорения, приемлемую для регулируемого финансового учреждения.
Распространённые ошибки
▾
- !Игнорирование того, что даже небольшое положительное преимущество не гарантирует выживание без достаточного стартового капитала относительно размера ставки.
- !Использование детерминистических расчетов взлетно-посадочной полосы (например, месяцев текущего расхода денежных средств) без учета неопределенности доходов/затрат.
- !Предполагать, что предыдущая полоса неудач «израсходовала» невезение и следующая сделка с большей вероятностью окажется выигрышной — ошибка игрока.
- !Рассматривать вероятность разорения как единовременный расчет, а не обновлять ее динамически по мере изменения капитала, параметров стратегии и рыночных условий.
- !Путаница вероятности разорения с ожидаемыми потерями — вероятность разорения измеряет выживание, а не среднюю величину потерь.
Совет профессионала
Запустите симуляцию Монте-Карло 10 000 траекторий вашей торговой системы в течение 252 торговых дней. Постройте график распределения значений терминальных счетов и определите долю путей, заканчивающихся ниже порога «разрушения». Эта эмпирическая вероятность разорения более точна, чем аналитические формулы для реальных торговых систем с ненормальным распределением доходности.
Знаете ли вы?
Проблема разорения игрока была впервые формально сформулирована Блезом Паскалем (известным по роману «Треугольник Паскаля») и Христианом Гюйгенсом в их переписке 17-го века о теории вероятностей. Гюйгенс опубликовал решение в 1657 году в книге «De Ratiociniis in Ludo Aleae» («О рассуждениях в азартных играх»), что сделало эту задачу одной из первых вероятностных задач, имеющую полное математическое решение. Та же самая математика сейчас лежит в основе современного регулирования страхования, ограничений торговых рисков и анализа взлетно-посадочной полосы стартапов.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Источники
- ›Феллер, В.: Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Vol. 1 (Уайли, 1968)
- ›Асмуссен и Альбрехер: Вероятность разрушения (2-е изд.), World Scientific
- ›Бенген, В. (1994): Определение ставок вывода средств с использованием исторических данных, Журнал финансового планирования.
- ›Инвестопедия: Определение разорения игрока
Read the full guide on how to use this calculator effectively
Читать далее →Получайте еженедельные советы по математике
Присоединяйтесь к подписчикам 12 000+, которые каждую неделю получают советы по калькулятору.