Стандартное отклонение является наиболее широко используемой мерой разброса в статистике. Он показывает, насколько разбросаны значения вокруг среднего значения. В этом руководстве это объясняется с первых принципов на рабочих примерах.
О чем говорит стандартное отклонение
Среднее значение указывает на центр набора данных. Стандартное отклонение показывает, насколько далеко значения обычно отклоняются от этого центра.
Низкое стандартное отклонение → значения плотно сгруппированы вокруг среднего значения. Высокое стандартное отклонение → значения сильно разнятся от среднего значения
Оба экзаменационных класса в среднем составляют 70%, но:
- Класс А: баллы 68, 69, 70, 71, 72 — SD ≈ 1,4 (очень стабильно)
- Класс B: баллы 40, 55, 70, 85, 100 — SD ≈ 22,4 (сильная вариабельность)
То же самое, но очень разные распределения.
Формула
Существует две версии в зависимости от того, имеете ли вы полную совокупность или выборку.
Стандартное отклонение генеральной совокупности (σ)
Используйте, если у вас есть данные для каждого члена группы.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
Выборочное стандартное отклонение (а)
Используйте, когда ваши данные представляют собой выборку из более крупной совокупности (наиболее распространенный случай).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
Знаменатель равен n − 1 (не n), чтобы внести поправку на погрешность, возникающую при оценке параметра совокупности по выборке. Это называется поправкой Бесселя.
Пошаговый расчет
Набор данных: Результаты тестов для 6 учащихся: 72, 85, 68, 91, 74, 80.
Шаг 1. Найдите среднее значение
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
Шаг 2. Найдите каждое отклонение от среднего значения
| Счет | Отклонение (x − x̄) | Квадрат отклонения |
|---|---|---|
| 72 | −6,33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −10,33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | −4,33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
Шаг 3. Суммируйте квадраты отклонений
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
Шаг 4. Разделите на n − 1 (выборка)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
Шаг 5. Извлеките квадратный корень
s = √(74.67) = 8.64
Стандартное отклонение составляет 8,64 пункта. Типичная оценка ученика примерно на 8–9 баллов отличается от средней по классу.
Правило 68-95-99,7
Для нормально распределенных данных (колокольчатая кривая) стандартное отклонение имеет предсказуемую связь с разбросом:
- 68% значений находятся в пределах 1 стандартного отклонения от среднего значения.
- 95% значений находятся в пределах 2 SD от среднего значения.
- 99,7% значений находятся в пределах 3 SD от среднего значения.
Применительно к нашему примеру (среднее значение = 78,33, стандартное отклонение = 8,64):
- 68% баллов: 78,33 ± 8,64 → от 69,7 до 86,97
- 95% баллов: 78,33 ± 17,28 → от 61,05 до 95,61
- 99,7% баллов: 78,33 ± 25,92 → от 52,41 до 104,25
Дисперсия против стандартного отклонения
Дисперсия — это квадрат стандартного отклонения: в нашем примере s² = 74,67.
Зачем использовать стандартное отклонение вместо дисперсии?
- Стандартное отклонение выражается в тех же единицах, что и ваши данные (пункты, доллары, метры).
- Дисперсия выражается в квадратах — ее труднее интерпретировать на практике.
- «Средний балл отклонился на 8,64 балла» имеет смысл; «Разница составила 74,67 балла²» — это не
Реальное использование
Финансы. Акции с дневной доходностью в среднем 0,05 % и стандартным отклонением 1,2 % гораздо более рискованны, чем акции с такой же средней доходностью и стандартным отклонением 0,3 %. Стандартное отклонение является основой измерения волатильности.
Производство. Завод, производящий болты с заданным диаметром 10 мм и стандартным отклонением 0,02 мм, гораздо более последователен, чем завод с стандартным отклонением 0,5 мм. Контроль качества опирается на SD.
Медицина. Клинические исследования сообщают о СД, а также показывают, насколько последовательно лечение действовало на пациентов.
Погода. «Средняя температура 18 °C при стандартном отклонении 4 °C» говорит вам гораздо больше, чем просто средняя температура: вы знаете, что взять с собой.
Z-показатели
Z-показатель преобразует любое значение в единицы стандартного отклонения, позволяя сравнивать различные наборы данных:
z = /x - x̄s
В нашем примере студент набрал 91 балл:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
Этот показатель на 1,47 стандартного отклонения выше среднего — лучше, чем примерно у 93% учащихся в классе.
Рассчитайте стандартное отклонение прямо сейчас
Наш статистический калькулятор вычисляет стандартное отклонение, дисперсию, среднее значение, медиану, моду и многое другое на основе любого введенного вами набора данных. Вставьте свои цифры и мгновенно получите полные результаты.