En z-poäng (eller standardpoäng) mäter hur många standardavvikelser en datapunkt är från medelvärdet. Den konverterar råpoäng till en standardiserad skala som möjliggör jämförelse mellan olika datamängder.
Z-Score-formeln
z = (x − μ) ÷ σ
Där:
- x = individuell datapunkt
- μ (mu) = befolkningsmedelvärde
- σ (sigma) = populationens standardavvikelse
För ett prov, ersätt μ med x̄ (provmedelvärde) och σ med s (prov SD).
Arbetat exempel
En student får 72 poäng på ett prov. Klassmedelvärdet är 65 och standardavvikelsen är 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Den här eleven fick 0,875 standardavvikelser över medelvärdet.
Tolka Z-poäng
| Z-poäng | Tolkning | Percentil (ungefär) |
|---|---|---|
| −3 | Extremt under genomsnittet | 0.1% |
| −2 | Väl under genomsnittet | 2.3% |
| −1 | Under genomsnittet | 15.9% |
| 0 | I medeltal | 50.0% |
| +1 | Över genomsnittet | 84.1% |
| +2 | Väl över genomsnittet | 97.7% |
| +3 | Extremt över genomsnittet | 99.9% |
68-95-99.7-regeln
I normalfördelning:
- 68 % av data faller inom ±1 standardavvikelse
- 95% inom ±2 standardavvikelser
- 99,7% inom ±3 standardavvikelser
Konvertera Z-Score till Percentile
När du har en z-poäng, slå upp standard normaltabell (Z-tabell) eller använd:
Percentile = Φ(z) × 100
Där Φ är den kumulativa normalfördelningsfunktionen.
Exempel: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3:e percentilen
Tillämpningar av Z-Scores
Finansiera: – Altman Z-Score förutspår konkursrisk
- Används i riskhantering för att identifiera extremvärden
Hälsovård:
- BMI för ålder z-poäng för barn
- Bendensitet (DXA) T-poäng är en form av z-poäng
Kvalitetskontroll:
- Six Sigma använder z-poäng för att mäta processkapacitet
- En "6-sigma"-process har en z-poäng på 6 (3,4 defekter per miljon)
Standardisera testresultat:
- IQ-poäng: medelvärde 100, SD 15 (en z-poäng på +2 → IQ 130)
- SAT-poäng: medelvärde 1000, SD 200 (skalat från z-poäng)
Jämföra poäng i olika tester
Exempel: Alice fick 80 poäng på test A (medelvärde 70, SD 10). Bob fick 55 på test B (medelvärde 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Trots den lägre råpoängen presterade Bob bättre jämfört med sina kamrater.