การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินามตอบคำถามพื้นฐาน: ถ้าเหตุการณ์มีความน่าจะเป็นของความสำเร็จที่ทราบแน่ชัด ความน่าจะเป็นที่จะได้รับความสำเร็จในจำนวนที่กำหนดพอดีใน การทดลองอิสระจำนวนคงที่คือเท่าใด ซึ่งใช้ได้กับการควบคุมคุณภาพ การทดสอบทางการแพทย์ การโยนเหรียญ และทุกที่ที่มีการทดลองแบบใช่/ไม่ใช่จำนวนคงที่
สูตร
สูตรความน่าจะเป็นทวินามคำนวณความน่าจะเป็นที่จะมีความสำเร็จพอดี k ครั้งในการทดลองอิสระ n ครั้ง:
P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
โดยที่:
- n = จำนวนการทดลอง
- k = จำนวนความสำเร็จที่ต้องการ
- p = ความน่าจะเป็นของความสำเร็จในแต่ละการทดลอง
- C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — จำนวนการรวมกัน
C(n,k) บอกว่ามีกี่วิธีที่จะจัดเรียงความสำเร็จ k ครั้งในการทดลอง n ครั้ง
ตัวอย่างที่แก้แล้ว
ผู้ตรวจสอบคุณภาพสุ่มตัวอย่างหลอดไฟ 10 ดวงจากล็อตที่ทราบว่ามีอัตราชำรุด 5% ความน่าจะเป็นที่หลอดไฟจะชำรุดพอดี 2 ดวงคือเท่าใด?
- n = 10 การทดลอง
- k = 2 ความสำเร็จ (ชำรุด)
- p = 0.05 (อัตราชำรุด)
- 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 หรือ 7.46%
ดังนั้นมีโอกาส 7.46% ที่จะพบหลอดไฟชำรุดพอดี 2 ดวงในตัวอย่างนั้น
ความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้อง
บ่อยครั้งที่คุณต้องการความน่าจะเป็นสะสม — "ชำรุดไม่เกิน 2 ดวง" หรือ "ชำรุดอย่างน้อย 2 ดวง":
- P(X ≤ k): รวมความน่าจะเป็นทั้งหมดตั้งแต่ 0 ถึง k
- P(X ≥ k): รวมความน่าจะเป็นทั้งหมดตั้งแต่ k ถึง n
สำหรับ n ขนาดใหญ่ การแจกแจงทวินามจะใกล้เคียงกับการแจกแจงปกติ ดังนั้นจึงมักใช้คะแนน z และตารางปกติแทน
เมื่อใดควรใช้ความน่าจะเป็นทวินาม
ใช้การแจกแจงนี้เมื่อ:
- มีจำนวนการทดลองคงที่
- การทดลองแต่ละครั้งมีสองผลลัพธ์ (สำเร็จ/ล้มเหลว ชำรุด/ดี ใช่/ไม่ใช่)
- ความน่าจะเป็นของความสำเร็จคงที่
- การทดลองเป็นอิสระจากกัน
การประยุกต์ใช้ทั่วไปได้แก่ ประสิทธิภาพของการทดลองยา การสำรวจความคิดเห็นทางการเลือกตั้ง อัตราชำรุดในการผลิต และการทำนายผลการแข่งขัน
เคล็ดลับ
สูตรทวินามมีการคำนวณที่หนักสำหรับ n ขนาดใหญ่ — เครื่องคิดเลขและซอฟต์แวร์สถิติเป็นสิ่งจำเป็น จำไว้ด้วยว่าสูตรนี้สมมติว่าเป็นเหตุการณ์อิสระที่มีความน่าจะเป็นคงที่ หากสมมติฐานเหล่านี้ผิดพลาด ผลลัพธ์จะไม่ถูกต้อง
ใช้เครื่องคำนวณความน่าจะเป็นทวินามของเราเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นได้ทันทีโดยไม่ต้องคำนวณเอง