ตัวแก้สมการลูกบาศก์: ค้นหารากที่แท้จริงและเชิงซ้อนทั้งหมด

สมการกำลังสามเป็นพหุนามระดับ 3 โดยมีรูปแบบทั่วไป ax³ + bx² + cx + d = 0 สมการกำลังสามต่างจากสมการกำลังสองตรงที่สมการกำลังสามสามารถมีคำตอบจำนวนจริงได้ 1, 2 หรือ 3 วิธี และไม่มีสูตรรูปแบบปิดง่ายๆ ที่คนส่วนใหญ่เรียนในโรงเรียน อย่างไรก็ตาม สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรของ Cardano หรือวิธีตัวเลข

แบบฟอร์มทั่วไป

ax³ + bx² + cx + d = 0

โดยที่ a ≠ 0 (ไม่เช่นนั้นจะไม่ใช่ลูกบาศก์) สมการสามารถมี:

3 รากที่แท้จริงที่แตกต่างกัน
1 รากจริงและ 2 รากคอนจูเกตเชิงซ้อน
รูตซ้ำ (เมื่อจำแนกเท่ากับศูนย์)

สูตรของคาร์ดาโน

หากต้องการใช้สูตรของคาร์ดาโน ให้กดลูกบาศก์ (กำจัดพจน์ x² ออก) ก่อนโดยการแทนที่ x = t - b/(3a):

t³ + pt + q = 0

จากนั้นจะพบรากโดยใช้สูตรที่ซับซ้อนที่เกี่ยวข้องกับการเลือกปฏิบัติ:

Δ = -4p³ - 27q²

ถ้า Δ > 0: มีรากจริงที่แตกต่างกันสามอัน ถ้า Δ = 0: ต้องมีรากจริงที่เท่ากันอย่างน้อยสองตัว ถ้า Δ < 0: หนึ่งรากจริงและสองรากคอนจูเกตเชิงซ้อน

ตัวอย่างการทำงาน

แก้ x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

จากการตรวจสอบหรือการทดลอง เราสามารถทดสอบจำนวนเต็มขนาดเล็กได้ การทดสอบ x = 1:

1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓

ดังนั้น x = 1 คือราก แยกตัวประกอบ (x - 1):

(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

ทั้งสามรากคือ x = 1, 2, 3

ค้นหารากโดยไม่ต้องแยกตัวประกอบ

สำหรับสมการกำลังสามที่แยกตัวประกอบไม่ดี ให้ใช้:

สูตรของคาร์ดาโน (แม่นยำเชิงพีชคณิตแต่ซับซ้อน)
วิธีการเชิงตัวเลข เช่น Newton-Raphson (วนซ้ำ ค้นหาทีละราก)
สร้างกราฟเพื่อประมาณค่ารากและปรับแต่งด้วย Newton-Raphson

แอปพลิเคชัน

สมการลูกบาศก์ปรากฏใน:

วิศวกรรมศาสตร์ (การวิเคราะห์ความเค้น-ความเครียด พลศาสตร์ของไหล)
ฟิสิกส์ (การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ในตัวกลางต้านทาน วัสดุลูกบาศก์)
เศรษฐศาสตร์ (ปัญหาการปรับให้เหมาะสม เส้นต้นทุนการผลิต)
คอมพิวเตอร์กราฟิก (เส้นโค้งลูกบาศก์เบซิเยร์)

เคล็ดลับ

หากคุณสงสัยว่ารากที่เป็นตรรกยะ ให้ใช้ทฤษฎีบทรากที่เป็นตรรกยะ: รากที่เป็นตรรกยะใดๆ p/q มี p หาร d และ q หาร a ซึ่งจะทำให้ผู้สมัครสอบของคุณแคบลงอย่างมาก ตรวจสอบรากด้วยการทดแทนเสมอ

ใช้ ตัวแก้สมการลูกบาศก์ ของเราเพื่อค้นหารากทั้งหมดได้ทันที ไม่ว่าจะเป็นจริงหรือซับซ้อน