Nedir Portfolio Variance & Std Dev?
▾
Portföy varyansı, yalnızca her bir varlığın bireysel riskliliğini değil, aynı zamanda birbirlerine göre nasıl hareket ettiklerini de hesaba katarak bir yatırım kombinasyonunun toplam riskini ölçer. İki varlık aynı anda aynı yönde hareket etme eğiliminde olduğunda bunları birleştirmek riski çok az azaltır. Ancak zıt yönlerde hareket ettiklerinde - hatta farklı şekilde - bunları karıştırmak, herhangi bir bileşenden daha az değişken bir portföy oluşturur. Bu, çeşitlendirmenin arkasındaki matematiksel motordur ve hisse senetleri, tahviller, gayrimenkuller ve emtialardan oluşan bir karışımı tutmanın, getiriden ödün vermeden genel portföy riskini azaltabilmesinin nedeni de budur. Bu fikir Harry Markowitz tarafından 1952'de yayınlanan 'Portföy Seçimi' makalesinde resmileştirildi ve bu makale ona 1990'da Nobel Ekonomi Ödülü'nü kazandırdı. Markowitz'den önce yatırımcılar neredeyse tamamen iyi bireysel menkul kıymetleri seçmeye odaklandılar. Onun içgörüsü, bir bütün olarak portföyün tek bir hisse senedinden daha önemli olduğu ve varlıklar arasındaki korelasyonun birleşik riski anlamanın anahtarı olduğu yönündeydi. Artık Modern Portföy Teorisi (MPT) olarak adlandırılan çerçevesi, etkin sınır kavramını ortaya koydu: herhangi bir risk seviyesi için en yüksek getiriyi veya herhangi bir getiri için en düşük riski sunan portföyler kümesi. Pratik olarak portföy varyansı, her bir varlığın ağırlığı, bireysel varyansı (veya standart sapması) ve her varlık kombinasyonu arasındaki ikili kovaryanslar kullanılarak hesaplanır. İki varlıkla basit bir formüldür; yirmi varlıkla 20x20 kovaryans matrisine ihtiyacınız var. Modern portföy optimizasyon yazılımı bu matris cebirini otomatik olarak ele alır, ancak altta yatan mantığı anlamak (ortalama ikili korelasyonun azaltılması portföy varyansını azaltır), çoklu varlık stratejisi oluşturan herhangi bir yatırımcı için çok önemlidir. Portföy farklılığı aynı zamanda profesyonel yatırım yönetiminde risk raporlamanın da merkezinde yer alır. Faktör modelleri, portföy varyansını piyasa riski, sektör dalgalanmaları, tarz riskleri ve kendine özgü riskten kaynaklanan katkılara ayrıştırarak portföy yöneticilerinin risklerinin tam olarak nereden geldiğini ve bunun için tazminat alıp almadıklarını anlamalarına olanak tanır.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Formül
▾
İki varlık: σ²_p = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2·w₁·w₂·ρ₁₂·σ₁·σ₂
N-varlığı: σ²_p = Σᵢ Σⱼ wᵢ·wⱼ·σᵢⱼ (matris formu: σ²_p = wᵀ·Σ·w)
Portföy Std Sapması (σ_p) = √σ²_p
Kovaryans: σᵢⱼ = ρᵢⱼ·σᵢ·σⱼDeğişken açıklaması
▾
| Sembol | Ad | Birim | Açıklama |
|---|---|---|---|
| wᵢ | Varlık Ağırlığı | decimal (0–1) | Varlık i'ye tahsis edilen portföy değerinin oranı; tüm ağırlıkların toplamı 1 olmalıdır |
| σᵢ | Varlık Standart Sapması | % per year | σᵢ parametresi, standart biriminde ölçülen ve matematiksel formül yoluyla hesaplanan sonucu doğrudan etkileyen, portföy varyansı hesaplamasında önemli bir niceliksel girdiyi temsil eder. |
| ρᵢⱼ | Korelasyon Katsayısı | dimensionless (−1 to +1) | Varlık i ve j getirileri arasındaki Pearson korelasyonu; −1 = mükemmel negatif, 0 = ilişkisiz, +1 = mükemmel pozitif |
| σᵢⱼ | Kovaryans | % squared per year | i ve j varlıklarının ortak değişkenliği; ρᵢⱼ × σᵢ × σⱼ'ye eşittir |
| Σ | Kovaryans Matrisi | matrix | Tüm ikili kovaryansların N×N simetrik matrisi; portföy optimizasyonu için temel girdi |
Nasıl Portfolio Variance & Std Dev
▾
- 1Portföydeki her varlığı mevcut piyasa değeriyle listeleyin, ardından her varlığın ağırlığını, değerinin toplam portföy değerine bölünmesiyle hesaplayın.
- 2Her bir varlık için yıllıklaştırılmış standart sapmayı (oynaklığı) toplayın - genellikle 3-5 yıllık aylık getirilerden tahmin edilir, daha sonra yıllık hale getirilir (aylık σ'yu √12 ile çarpın).
- 3İkili korelasyon matrisini oluşturun: her varlık çifti için geçmiş getiri serilerinin korelasyonunu hesaplayın. Çoğu portföy yazılımı veya elektronik tablo bunu bir iade geçmişinden hesaplayabilir.
- 4Korelasyonları kovaryanslara dönüştürün: her çift için σᵢⱼ = ρᵢⱼ × σᵢ × σⱼ.
- 5İki varlık için doğrudan formülü uygulayın. Daha fazla varlık için wᵀΣw'yi matris çarpımını kullanarak hesaplayın — bu, ağırlık vektörünün kovaryans matrisiyle iç çarpımıdır.
- 6Yüzde cinsinden ifade edilen daha sezgisel risk ölçüsü olan portföy standart sapmasını (σ_p) elde etmek için portföy varyansının karekökünü alın.
- 7σ_p'yi bireysel σ değerlerinin (Σwᵢσᵢ) ağırlıklı ortalaması ile karşılaştırın. Aradaki fark, çeşitlendirme faydasıdır; varlıkları ayrı ayrı tutmak yerine birleştirerek ne kadar riskten kaçındığınızdır.
Çözümlü Örnekler
▾
Ağırlıklı ortalama σ 0,60×18+0,40×6 = %13,2 olacaktır; portföy yalnızca %10,5'e ulaşıyor; çeşitlendirme yoluyla riskin %2,7'sinden tasarruf ediliyor.
Hisse senetleri ve tahviller arasındaki negatif korelasyon (tahviller genellikle hisse senetleri düştüğünde yükselir) risk azalmasının kaynağıdır. Bu nedenle 60/40 portföyü onlarca yıldır emeklilik fonları ve bağışlar için varsayılan dengeli tahsis haline geldi; oynaklığı anlamlı ölçüde azaltırken özsermaye getirilerini de yakalıyor.
Aynı sektördeki iki hisse senedinin korelasyonu çok yüksektir; Çeşitlendirme, ağırlıklı ortalama %29'a kıyasla riskin yalnızca ~%1'ini kurtarır.
Varlıklar yüksek düzeyde korelasyona sahip olduğunda, bunları birleştirmek minimum çeşitlendirme faydası sağlar. İki teknoloji hissesi tutmak, iki kat büyüklükte bir teknoloji hissesi tutmaktan pek farklı değildir. Gerçek çeşitlendirme, yalnızca aynı sektördeki farklı şirket adlarını değil, ekonomik koşullara farklı tepki veren varlıkları gerektirir.
Altın eklemek (her ikisiyle de sıfıra yakın korelasyon), portföy volatilitesini 60/40 temel çizgisine göre daha da azaltır.
Altın tahsisi, hem hisse senetleri hem de tahvillerle olan düşük korelasyonunu devreye sokuyor. Altının kendisi değişken olmasına rağmen (%15) hem hisse senetlerinden hem de tahvillerden bağımsız olarak hareket ettiğinden genel portföy varyansını azaltır. Bu, bireysel bir varlığın oynaklığının, portföyün geri kalanıyla olan korelasyonundan ne kadar daha az önemli olduğunu gösteriyor.
Krizlerde varlıklar arası korelasyonlar 1,0'a doğru yükselir ve çeşitlendirmeyi tam olarak en çok ihtiyaç duyduğunuz anda ortadan kaldırır.
Bu, normal dönem verilerinden hesaplanan portföy varyansının en önemli sınırlamasıdır: korelasyonlar istikrarlı değildir. 2008 mali krizi ve Mart 2020'deki Kovid-19 satışları sırasında yatırımcıların nakit toplamak için her şeyi tasfiye etmesiyle neredeyse tüm risk varlıkları aynı anda düştü. Uzun vadeli ortalama korelasyonlara dayanan modeller, bu olaylar sırasındaki riski önemli ölçüde hafife aldı.
Gerçek dünya uygulamaları
▾
Ortalama varyans açısından verimli portföyler oluşturmak ve etkin sınırı hesaplamak, doğru portföy varyansı hesaplamalarının bilinçli karar almayı, stratejik planlamayı ve performans optimizasyonunu doğrudan desteklediği profesyonel ve analitik bağlamlarda Portföy Varyansı için önemli bir uygulama alanını temsil eder
Doğru portföy varyansı hesaplamalarının bilinçli karar almayı, stratejik planlamayı ve performans optimizasyonunu doğrudan desteklediği profesyonel ve analitik bağlamlarda Portföy Varyansı için önemli bir uygulama alanını temsil eden kurumsal fon yönetiminde risk ayrıştırması ve atıf.
Bankalar için Basel III ve sigortacılar için Solvency II kapsamında düzenleyici sermaye modellemesi; doğru portföy varyans hesaplamalarının bilinçli karar almayı, stratejik planlamayı ve performans optimizasyonunu doğrudan desteklediği profesyonel ve analitik bağlamlarda Portföy Varyansı için önemli bir uygulama alanını temsil eder.
Doğru portföy varyans hesaplamalarının bilinçli karar almayı, stratejik planlamayı ve performans optimizasyonunu doğrudan desteklediği profesyonel ve analitik bağlamlarda Portföy Varyansı için önemli bir uygulama alanını temsil eden robo-danışman ve hedef zamanlı fon portföy oluşturma algoritmaları
Özel durumlar
▾
Likit olmayan varlıklar – seyrek fiyatlandırma
{'title': 'Likit olmayan varlıklar - seyrek fiyatlandırma', 'body': "Nadiren fiyatlandırılan varlıklar (özel sermaye, gayrimenkul), değerlemeleri gecikmeli olduğundan kamu piyasalarıyla yapay olarak düşük ölçülen korelasyon gösterir. Bu 'düzeltme etkisi' gerçek varyans ve korelasyonları olduğundan az gösterir. Özel varlıklar için değerlendirmeye dayalı getirileri kullanan modeller, gerçek portföy riskini önemli ölçüde küçümser ve çeşitlendirme faydalarını abartır. Dimson (1979) düzeltme veya getiriyi yumuşatmayan teknikler buna uyum sağlamaya yardımcı olur."}
Yağlı kuyruklar ve normal olmayan getiriler
{'title': 'Kuyruk kuyrukları ve normal olmayan getiriler', 'body': 'Standart portföy varyansı normal dağılımlı getirileri varsayar. Gerçekte, varlık getirilerinin kalın kuyrukları vardır; büyük hareketler, normal dağılımın öngördüğünden çok daha sık meydana gelir. 2008 krizi, 2020 Kovid krizi ve 2022 tahvil satışları sırasında getiriler, normal dağılım standartlarına göre 5-10 standart sapma olayıydı. Beklenen Açık (CVaR) ve stres testi kuyruk riskini yakalamak için varyansı tamamlar.'}
Kovaryans matrislerinde tahmin hatası
{'title': 'Kovaryans matrislerinde tahmin hatası', 'body': 'Geçmiş verilerden tahmin edilen kovaryans matrisleri özellikle büyük portföyler için gürültülüdür. 50 varlıkla, her biri tahmin hatası taşıyan 1.225 kovaryansı tahmin edersiniz. Optimize ediciler bu hataları güçlendirerek aşırı ağırlıklara sahip dengesiz portföyler üretirler. Büzülme tahmin edicileri (Ledoit-Wolf), faktör modelleri veya sağlam optimizasyon yöntemleri, tahmin hatasına karşı duyarlılığı azaltır.'}
Korelasyona Göre Portföy Standart Sapması — 50/50 bölünmüş, σ₁=%20, σ₂=%15
▾
| Korelasyon (ρ) | Portföy σ | Risk ve Ağırlıklı Ortalama (%17,5) | Tercüme |
|---|---|---|---|
| −1,0 (mükemmel negatif) | %2,5 | −15,0% | Maksimum çeşitlendirme — sıfıra yakın risk mümkün |
| −0,5 | %10,4 | −7,1% | Güçlü çeşitlendirme avantajı |
| 0,0 (ilişkisiz) | %12,5 | −5,0% | İyi çeşitlendirme – bağımsız varlıklar |
| 0.5 | %14,4 | −%3,1 | Orta düzeyde fayda – aynı yöndeki varlıklar |
| 0.8 | %16,5 | −%1,0 | Minimum fayda – yüksek düzeyde korelasyon |
| +1,0 (mükemmel pozitif) | %17,5 | 0% | Çeşitlendirme yok – ağırlıklı ortalamayla aynı |
Sık sorulan sorular
▾
Portföy varyansı ile portföy standart sapması arasındaki fark nedir?
Portföy varyansı (σ²_p) riskin kare ölçüsüdür; birim 'yüzde karedir' ve bu sezgisel değildir. Portföy standart sapması (σ_p = √σ²_p), bunu doğrudan varlık getirileriyle karşılaştırılabilecek yüzde terimlerine dönüştürür. Portföyünüzün yıllık standart sapması %12 ise bu, getirilerin tipik olarak yılın yaklaşık üçte ikisinde (bir standart sapma) ortalamanın ±%12'si dahilinde olduğu anlamına gelir. Her ikisi de aynı şeyi ölçer; Birimler getiri birimleriyle eşleştiği için standart sapma pratikte daha yaygın olarak kullanılır.
Korelasyon neden çeşitlendirme açısından bireysel oynaklıktan daha önemli?
Portföyünüze değişken bir varlık eklemek, eğer söz konusu varlığın mevcut varlıklarla düşük veya negatif korelasyonu varsa, aslında genel portföy riskini azaltabilir. Örneğin, altının yıllık oynaklığı hisse senetleriyle karşılaştırılabilir şekilde %15-20'dir, ancak hisse senedi tahvili portföyüne %10-15 altın eklemek genellikle toplam portföy oynaklığını azaltır. Matematik bunu kesinleştirir: Çapraz çarpım terimi (2·w₁·w₂·ρ·σ₁·σ₂), ρ negatif olduğunda çıkarılır ve ρ pozitif olduğunda eklenir. Korelasyon, kelimenin tam anlamıyla çeşitlendirmenin işe yarayıp yaramayacağını belirleyen parametredir.
Yeterli çeşitlendirme için kaç varlığa ihtiyaç vardır?
Evans ve Archer (1968) tarafından yapılan araştırma, çoğu kendine özgü (şirkete özgü) riskin, rastgele seçilen yaklaşık 20-30 hisse senediyle ortadan kaldırıldığını gösterdi. Bunun ötesinde, daha fazla hisse senedi eklemek riski marjinal olarak azaltır. Bununla birlikte, 30 ABD hisse senedinden oluşan bir portföy yalnızca şirkete özgü riske karşı çeşitlendirilmiştir; hâlâ ABD hisse senedi piyasası riskine, sektör riskine ve faktör risklerine tam olarak maruz kalmaktadır. Gerçek çeşitlendirme, varlık sınıflarının (hisse senetleri, tahviller, emlak, emtialar, alternatifler) ve coğrafyaların (yerel, uluslararası gelişmiş, gelişmekte olan piyasalar) kesişmesini gerektirir.
Kovaryans matrisi nedir ve nasıl oluşturulur?
Bir kovaryans matrisi (Σ), her girişin [i,j] i varlığı ile j varlığı arasındaki kovaryansı gösterdiği N×N bir ızgaradır. Çapraz girişler bireysel varyanslardır (σᵢ²). Matris simetriktir (giriş [i,j] = [j,i]), çünkü A ile B arasındaki kovaryans, B ile A arasındaki kovaryansa eşittir. Geçmiş verilerden bir tane oluşturmak için: tüm varlıkların aylık getirilerini toplayın, Excel'in COVAR işlevini veya Python'un numpy.cov() fonksiyonunu kullanarak ikili kovaryansları hesaplayın, ardından 12 ile çarparak yıllıklaştırın (aylık girdiler için).
Minimum varyans portföyü nedir?
Minimum sapma portföyü, tüm olası tahsis kombinasyonlarında mümkün olan en düşük portföy varyansını üreten varlıkların (her bir varlığın ağırlığına özel) birleşimidir. Etkin sınırın en sol noktasında yer alır. Bu mutlaka optimal portföy değildir (beklenen getiriyi feda eder), ancak mevcut varlıklar göz önüne alındığında elde edilebilecek maksimum çeşitlendirme faydasını temsil eder. İki varlıklı bir durumda, varlık 1 için minimum varyans ağırlığı şöyledir: w₁ = (σ₂² − σ₁₂) / (σ₁² + σ₂² − 2σ₁₂), burada σ₁₂ kovaryanstır.
Kaldıraç portföy varyansını nasıl etkiler?
Kaldıraç, portföy varyansını kaldıraç oranının karesi kadar artırır. Yatırım yapmak için portföy değerinin %50'sini borç alırsanız (1,5× kaldıraç), portföy varyansı 1,5² = 2,25 kat artar ve standart sapma 1,5× artar. Bu, 1×'de yıllık %12'lik standart sapmanın 1,5×'te %18 olacağı anlamına gelir. Kaldıraç çeşitlendirilemez; tüm bileşenleri orantılı olarak ölçeklendirir. Yüksek kaldıraçlı fonların (örneğin, 2× ve 3× ETF'ler) temel endekslerine göre önemli ölçüde daha yüksek oynaklığa sahip olmasının nedeni budur.
MPT'deki portföy varyansı ile faktör modeli riski arasındaki fark nedir?
MPT, ham getiri geçmişinden toplam portföy varyansını hesaplar. Faktör modelleri (CAPM, Fama-French, Barra), portföy varyansını sistematik bileşenlere (piyasa riski, büyüklük riski, değer riski, momentum riski) ve kendine özgü bileşenlere ayırır. Faktör modeli varyansı, neden sahip olduğunuz riske ilişkin daha fazla fikir verir; bu risk piyasa betası mı, sektör konsantrasyonu mu, yoksa faktör eğilimleri mi? Portföy yönetimi için faktör riski ayrıştırması daha eyleme geçirilebilir; Hassas varyans hesaplaması için kovaryans matrisi yaklaşımı daha doğrudur.
Kaçınılması Gereken Yaygın Hatalar
▾
- !Varlık standart sapmalarını ondalık sayılar (0,20) yerine yüzde cinsinden (ör. 20) kullanmak — formül, ondalık sayıları gerektirir ve bunların karıştırılması anlamsız sonuçlar doğurur.
- !Korelasyonu göz ardı etmek ve varlık standart sapmalarının basitçe ortalamasını almak; bu, portföy riskini olduğundan fazla tahmin eder ve çeşitlendirmenin tüm noktasını gözden kaçırır.
- !Tarihsel korelasyonların istikrarlı olduğunu varsayarsak, normal ve kriz rejimleri arasındaki korelasyonlar önemli ölçüde değişmektedir. Her zaman yükseltilmiş korelasyon varsayımlarıyla stres testi yapın.
- !Yıllıklandırma olmadan aylık getirileri kullanma - yıllık varyansı elde etmek için aylık varyansı 12 ile çarpın veya yıllık σ'yu bulmak için aylık σ'yı √12 ile çarpın.
- !Aynı sektördeki hisse senetlerinden oluşan bir portföyü çeşitlendirilmiş olarak ele almak — sektör hisse senetlerinin korelasyonları 0,7'nin üzerindedir ve minimum varyans azalması sağlar.
Uzman İpucu
İki portföy varyans hesaplaması yapın: biri uzun vadeli ortalama korelasyonları (normal dönem) ve diğeri kriz dönemi korelasyonlarını kullanarak (tüm riskli varlık korelasyonlarının 0,80+'ye yükseldiğini varsayalım). Bu iki sayı arasındaki boşluk sizin 'çeşitlendirme kredinizdir' - gerçek bir krizde ortadan kaybolabilecek risk azaltma miktarı. Risk bütçenizi kriz-korelasyon senaryosuna göre ihtiyatlı bir şekilde boyutlandırın.
Biliyor muydunuz?
Harry Markowitz'in portföy varyans çerçevesini 1950'lerde doktora öğrencisi olarak bir üniversite kütüphanesinde John Burr Williams'ın 'Yatırım Değeri Teorisi'ni okurken geliştirdiği bildirildi. Yatırımcıların bireysel hisse senetlerine değil portföylere önem vermesi gerektiği yönündeki içgörüsü bir öğleden sonra geldi. Nobel Ödülü sahibi konuşmasında Milton Friedman'ın başlangıçta işin ekonomi olmadığını öne sürdüğü belirtildi. Onlarca yıl sonra, Markowitz'in kovaryans matrisi dünyadaki her kurumsal yatırım sürecine gömülüdür.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Kaynaklar
Read the full guide on how to use this calculator effectively
Devamını oku →Haftalık Matematik İpuçları Alın
Her hafta hesap makinesi ipuçları alan 12.000+ aboneye katılın.