是什么 Bond Duration & Convexity?
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久期和凸度是衡量债券对利率变化敏感性的两个基本指标。它们共同使投资者能够估计当收益率变动时债券价格将发生多大变化，从而实现固定收益投资组合中精确的利率风险管理。 持续时间有两种主要形式。麦考利久期由弗雷德里克·麦考利于 1938 年提出，是收到债券现金流（息票付款和本金）的加权平均时间，权重与每笔现金流的现值成比例。它以年表示，代表债券投资的有效“回报时间”。零息债券的麦考利久期等于其到期日，因为所有现金流都是在最后收到的；息票债券的麦考利久期比到期日短，因为中期息票支付减少了有效等待时间。 修改久期将麦考利久期转换为价格敏感性的直接衡量标准：它估计收益率变化 1%（100 个基点）时债券价格的百分比变化。修正久期 = 麦考利久期 / (1 + y/m)，其中 y 是到期收益率，m 是每年的息票期数。例如，如果收益率上升 100 个基点，修正久期为 7 的债券预计价格将下跌约 7%，如果收益率下降 100 个基点，价格预计将上涨 7%。 凸性是价格敏感性的二阶衡量标准——它捕捉到了仅久期所忽略的价格-收益率关系的曲率。由于债券价格和收益率之间存在凸（曲线）关系，而不是线性关系，因此久期会在收益率下降时低估价格上涨，而在收益率上升时高估价格下跌。添加凸度调整可以产生更准确的价格变化估计，特别是对于较大的收益率变动。正凸性（标准债券的特征）意味着债券受益于相对于线性久期近似的两个方向的利率变动。当利率下降触发提前还款时，抵押贷款支持证券可能会表现出负凸性。 这些概念是银行、保险公司和养老基金的债券投资组合免疫、负债驱动投资 (LDI) 策略以及固定收益风险管理的基础。
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公式
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修正持续时间 = 麦考利持续时间 / (1 + y/m)
ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)²。该公式通过输入变量的数学关系来计算久期凸性。每个组件代表一个可以独立验证的可测量数量。变量说明
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| 符号 | 名称 | 单位 | 描述 |
|---|---|---|---|
| D_Mac | 麦考利持续时间 | years | 收到所有现金流的加权平均时间，权重等于每笔现金流的现值除以债券总价格。 |
| D_mod | 修改持续时间 | years (% per 1% yield change) | 收益率每变化 1%，价格变化的大致百分比：D_mod = D_Mac / (1 + y/m)。 |
| C | 凸性 | years squared | 价格敏感性的二阶测度；捕捉了久期未捕捉到的价格-收益率关系的曲率。 |
| y | 到期收益率 | % | 债券当前的到期收益率，用于贴现现金流和计算久期。 |
| m | 优惠券频率 | payments per year | 每年支付息票的次数（例如，每半年支付 2 次，每年支付 1 次）。 |
| ΔP/P | 价格变化（%） | % | 债券价格的估计百分比变化： ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)² |
如何 Bond Duration & Convexity
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- 1列出该债券的所有未来现金流量及其时间：每期的息票支付（息票=面值×票面利率/m）和到期时的面值偿还。
- 2使用到期收益率将每笔现金流贴现为其现值：PV_t = CF_t / (1 + y/m)^t，其中 t 是周期数。
- 3将所有现值相加即可得出债券的价格：P = Σ PV_t。
- 4计算麦考利持续时间：D_Mac = Σ [t × PV_t] / P — 加权平均时间（以周期为单位），然后除以 m 以转换为年数。
- 5计算修改的持续时间：D_mod = D_Mac / (1 + y/m)。这是债券的一阶价格敏感性——乘以−1 和收益率变化来估计价格变化百分比。
- 6计算凸性：C = [Σ t(t+1) × PV_t / (1+y/m)²] / (P × m²)。该二阶项调整价格-收益率曲线曲率的久期估计。
- 7对于给定的产量变化 Δy：估计 ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)²。对于较小的 Δy (< 25 bps)，单独的持续时间通常就足够了；对于较大的变化，凸性就变得重要了。
例题解析
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平价债券：价格 = 1,000 美元。收益率上升 100 个基点 → 约-7.93% 价格变化。
当债券的票面利率等于其到期收益率时，它的交易价格为面值（1,000 美元）。麦考利久期为 8.11 年，反映了 10 年半年期息票加上最终本金收到现金流的加权平均时间。修正久期 7.93 意味着收益率每上升 1%，债券价格就会损失约 7.93%。对于 100 个基点的收益率增长： ΔP/P ≈ −7.93% × 1% + 0.5 × 79.5 × (0.01)² ≈ −7.93% + 0.40% = −7.53%，显示凸性如何部分抵消久期下降。
零息票：期限等于到期日。给定期限的最长久期——最大利率敏感性。
零息债券不支付中期息票——所有现金流均在到期时到达。因此，其麦考利久期恰好等于其到期日（20 年）。修正久期为 19.05，收益率增加 1% 会导致价格下跌约 19.05%，使得该债券对利率变化极其敏感。 399.7 的极高凸度提供了针对收益率大幅波动的实质性保护，但该债券仍然是其到期日内对利率最敏感的工具。零息债券广泛应用于负债驱动的投资策略中，以精确匹配长期负债。
相对于收益率的高息票 — 交易价格高于面值（优质债券）。低速率敏感性。
该债券的票面利率为 6%，到期收益率为 5%，其交易价格高于面值（优质债券，价格 ≈ 1,027.23 美元）。高息票加速了现金流的收回，将麦考利久期缩短至 2.74 年，尽管期限为 3 年。修正久期为 2.67 意味着每 1% 的收益率变动，价格只会发生 2.67% 的变化——使得该债券的利率敏感性远低于 10 年期国债或零息债券。短期公司债券用于降低利率风险，同时仍能赚取高于政府债券收益率的信用利差。
投资组合久期是各组成部分久期的价值加权平均值。
投资组合久期 = 0.40 × 4.3 + 0.60 × 11.2 = 1.72 + 6.72 = 8.44。这种结合了短期和长期债券的债券阶梯实现了 8.44 年的中间久期——类似于 10 年期国债——而无需持有单一 10 年期债券。阶梯式提供流动性优势（债券定期到期）并允许精确的久期目标。目标久期为 8.0 的投资组合经理可以使用简单的线性代数调整债券 A 和债券 B 之间的权重，以实现准确的目标。
实际应用
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债券投资组合免疫：将养老基金和保险公司的资产期限与负债期限相匹配。此应用程序通常由需要精确定量分析以支持各自领域的决策、预算和战略规划的专业人士使用
利率对冲：使用DV01计算国债期货或利率掉期对冲比率。行业从业者依靠这种计算来衡量性能、比较替代方案并确保符合既定标准和监管要求
固定收益风险管理：计算投资组合久期和交易台的 DV01 限制。学术研究人员和学生使用这种计算来验证理论模型、完成课程作业并加深对基本数学原理的理解
固定收益养老金计划资产的负债驱动投资（LDI）策略构建。财务分析师和规划人员将此计算纳入其工作流程中，以生成准确的预测、评估风险场景并向利益相关者提供数据驱动的建议
监管资本：巴塞尔协议III第一支柱和IRRBB标准下基于存续期的利率风险资本计算。此应用程序通常由需要精确定量分析以支持各自领域的决策、预算和战略规划的专业人士使用
特殊情况
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在实践中，这种边缘情况需要仔细考虑，因为标准假设可能不成立。当在债券久期和凸度计算器计算中遇到这种情况时，从业者应该验证边界条件，检查除零风险，并考虑模型的假设在这些极端条件下是否仍然有效。
在实践中，这种边缘情况需要仔细考虑，因为标准假设可能不成立。当在债券久期和凸度计算器计算中遇到这种情况时，从业者应该验证边界条件，检查除零风险，并考虑模型的假设在这些极端条件下是否仍然有效。
在实践中，这种边缘情况需要仔细考虑，因为标准假设可能不成立。当在债券久期和凸度计算器计算中遇到这种情况时，从业者应该验证边界条件，检查除零风险，并考虑模型的假设在这些极端条件下是否仍然有效。
按债券类型划分的典型久期和凸度（大约，2024 年利率环境）
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| 债券类型 | 到期 | 修改持续时间 | 凸性 | 价格敏感度达 +100bps |
|---|---|---|---|---|
| 3个月期国库券 | 3个月 | 0.25 | 0.06 | −0.25% |
| 2年期国库券 | 2年 | 1.85 | 3.9 | −1.85% |
| 五年期国库券 | 5年 | 4.40 | 21.0 | −4.40% |
| 10年期国债 | 10年 | 7.95 | 79.5 | −7.55% |
| 30年期国债 | 30年 | 16.50 | 367.0 | −14.66% |
| 10年期零息债券 | 10年 | 9.52 | 98.0 | −9.05% |
| IG 公司债券（10 年期） | 10年 | 7.40 | 72.0 | −7.04% |
| 高收益债券（5年期） | 5年 | 3.80 | 16.5 | −3.61% |
| MBS 直通 | 名义上约 30 年 | 3.0 – 5.0 | 消极的 | −3% 至 −5% |
常见问题
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麦考利和修改久期之间的实际区别是什么？
麦考利久期以年为单位表示，代表收到债券现金流的加权平均时间——它是时间的衡量标准，而不是直接的价格敏感性衡量标准。修正久期是债券价格相对于收益率变化（除以价格）的一阶导数，直接衡量收益率变化 1% 时价格变化的百分比。对于实际应用——估计利率变化时债券的价值会发生多少变化——修正久期是相关的衡量标准。麦考利久期在概念上（理解现金流的时间）和构建免疫投资组合（将资产久期与负债久期以年为单位相匹配）更有用。
为什么凸性很重要以及它什么时候变得重要？
凸性反映了价格-收益率关系的曲率。仅久期就提供了价格变化的线性近似，但实际的价格收益率曲线是凸的——它向上弯曲。对于较小的收益率变化（小于 25 个基点），久期通常就足够了。对于较大的收益率变动（50-200+基点），凸性变得越来越重要。在 2022 年剧烈的利率变动期间（美联储在一年内加息 425 个基点），正确计算凸度的投资者在估计投资组合损失方面比仅依赖久期的投资者要准确得多。较高的凸度通常是可取的，因为这意味着债券在利率上升时损失较少，在利率下降时收益较多。
什么是负凸性以及哪些债券表现出负凸性？
大多数标准债券都具有正凸性——当收益率下降时，价格上涨加速；当收益率上升时，价格损失减缓。负凸性则相反：当收益率下降时，价格上涨缓慢；当收益率上升时，价格损失加速。这种情况发生在可赎回债券（发行人在利率下降时赎回债券，限制价格升值）和抵押贷款支持证券（房主在利率下降时提前偿还抵押贷款，当您想要长期持有时缩短证券的期限）。逆浮子也可以表现出负凸性。具有负凸度的证券通常会提供更高的收益率，以补偿投资者的这一不利特征。
债券投资组合免疫中如何使用久期？
免疫是将投资组合的久期与其目标负债的久期相匹配的策略，以便利率变化对资产和负债的影响同等，从而保持资金盈余不变。负债有效期限为 12 年的养老基金将以修改期限为 12 年的债券投资组合为目标。当利率上升时，资产价值和负债现值均按比例下降，融资比率大致保持不变。完全免疫还需要匹配凸度：如果资产凸度超过负债凸度，则投资组合处于正向定位（任何收益率变化带来的收益）。养老基金和保险公司使用的负债驱动投资（LDI）策略就是建立在这个框架之上的。
什么是美元久期 (DV01) 以及如何使用它？
美元久期通常表示为 DV01（基点的美元价值）或 PVBP（基点的价格价值），衡量收益率每变化 1 个基点 (0.01%)，以美元计算的债券价格的变化。 DV01 = 修正久期 × 债券价格 × 0.0001。例如，修正久期为 8、价格为 1,000,000 美元的债券，DV01 = 8 × 1,000,000 美元 × 0.0001 = 800 美元。固定收益交易者和投资组合经理广泛使用 DV01 来确定头寸规模、计算对冲比率并以美元而非百分比来传达风险，这对于大型投资组合和交易柜台来说更为直观。
票面利率如何影响久期？
对于相同期限的债券，较高的票面利率会产生较短的久期，而较低（或零）的票面利率会产生较长的久期。这是因为较高的息票意味着投资者较早收到总现金流量的较大比例（作为临时息票支付），从而缩短了收到现金流量的加权平均时间（麦考利久期）。因此，高息债券的利率敏感性低于相同期限的低息债券。这种关系解释了为什么零息债券在任何给定的期限长度和收益率水平下都具有最大可能的久期（等于到期期限）。
收益率水平如何影响久期和凸度？
久期和凸度都对现行收益率水平敏感。当收益率较低时，久期通常较高（因为贴现率较低，使得远程现金流更有价值），凸性也较高。当收益率较高时，久期较短且凸度较低。这在当前利率从接近于零的水平大幅上升的环境中尤其重要——2020-2021 年似乎具有高久期风险的投资组合现在在较高的收益率水平下具有较低的有效久期。这种收益率依赖性意味着只要收益率大幅波动，就必须重新计算久期，并且在波动的利率环境中，静态久期估计可能很快就会过时。
常见错误注意事项
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- !将麦考利久期（以年为单位，基于时间）与修正久期（以年为单位，但实际上是价格敏感性指标）混淆——它们有不同的解释和用途。
- !忽略较大收益率变动的凸性——当收益率变化超过 50 个基点时，凸性项变得重要，应包含在价格变化估计中。
- !假设久期不变——久期随着收益率的变化、时间的推移和收到的现金流而变化；必须定期重新计算，以进行准确的投资组合风险监控。
- !将修改久期应用于带有嵌入期权（可赎回、可回售、抵押贷款支持）的债券——这些证券必须使用期权调整久期 (OAD) 或有效久期。
- !仅使用久期来比较具有不同凸度概况的债券投资组合——久期相同但凸度截然不同的两个投资组合在非线性利率环境中具有显着不同的风险概况。
专业提示
对于实际的固定收益风险管理，请使用美元久期 (DV01) 以货币形式而不是百分比形式传达风险。 DV01 为 5,000 美元的投资组合，收益率每变动一个基点，价值就会变化 5,000 美元——交易员、风险经理和投资组合经理可以立即解释。
你知道吗？
弗雷德里克·麦考利 1938 年介绍麦考利久期的论文是美国国家经济研究局委托进行的一项跨越一个多世纪的美国利率里程碑式研究的一部分。近三十年来，持续时间概念在很大程度上被忽视，直到免疫理论在 20 世纪 60 年代和 1970 年代重新燃起了人们对它的兴趣。
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参考资料
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