毕达哥拉斯定理是所有数学中最著名的结果之一——简单到可以用一行话表述，深刻到足以拥有 370 多个已知证明。这里有您需要了解的一切，从公式到实际应用。

公式

对于任何直角三角形（一个 90° 角的三角形）：

a^2 + b^2 = c^2

其中 a 和 b 是两条边（形成直角的边），c 是斜边（与直角相对的边 - 始终是最长的边）。

找到每一边

求斜边 (c)：

c = √(a^2 + b^2)

寻找一条腿（a）：

a = √(c^2 - b^2)

找到另一条腿（b）：

b = √(c^2 - a^2)

工作示例

示例 1： 直角三角形的边长分别为 3 厘米和 4 厘米。找到斜边。

  • c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 厘米

例2： 一个10米长的梯子靠在墙上，梯子的底部距墙4米。达到多高？

  • a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9.17 米

毕达哥拉斯三元组

毕达哥拉斯三元组是满足 a² + b² = c² 的三个整数的集合。这些经常出现在问题中并且值得记住：

一个 乙 c
3 4 5
5 12 13
8 15 17
7 24 25
20 21 29

三元组的任何倍数也是三元组： (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) 都可以。

一个简单的证明

最优雅的证明使用区域。画一个边长为 (a + b) 的大正方形。在其中放置四个带有边 a 和 b 的直角三角形副本。

四个三角形的面积为 4 × (½ab) = 2ab。大正方形中的剩余空间必须是 c²（斜边上的正方形）。

大正方形的面积 (a + b)² = a² + 2ab + b²。

所以：a² + 2ab + b² − 2ab = c²

因此： a² + b² = c²

实际应用

建筑和木工

建筑工地上每天都会使用“3-4-5 规则”来检查角落是否完全方形。沿一面墙测量 3 个单位，沿相邻墙测量 4 个单位，然后检查对角线的尺寸是否正好为 5 个单位。如果是这样，则角度正好是 90°。

＃＃＃ 导航

在 GPS 出现之前，导航员经常使用该定理。如果您向东行驶 30 公里，然后向北行驶 40 公里，则距起点的直线距离为 √(30² + 40²) = √2500 = 50 公里。

现代 GPS 系统使用该定理的 3D 扩展来计算坐标之间的距离。

屏幕尺寸

“65 英寸电视”的屏幕对角线尺寸为 65 英寸。如果您知道纵横比 (16:9)，则可以使用定理找到准确的宽度和高度。对于 65 英寸 16:9 屏幕：宽度 ≈ 56.7 英寸，高度 ≈ 31.9 英寸。

工程和物理

该定理是结构工程（计算承重对角线）、计算机图形学（渲染 3D 场景）和物理学（计算合成向量 - 两个直角力的组合效应）的基础。

3D 扩展：距离公式

毕达哥拉斯定理自然延伸到三个维度：

d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)

它用于计算机图形、物理模拟、GPS 计算以及任何使用 3D 坐标的系统。

现在计算勾股定理

使用我们的免费计算器在给定其他两条边的情况下找到直角三角形的任意边。输入任意两侧并立即获得第三个，并逐步进行操作。