الانحراف المعياري هو المقياس الأكثر استخدامًا للانتشار في الإحصائيات. فهو يخبرك بمدى بُعد القيمة النموذجية عن المتوسط - سواء كانت بياناتك متجمعة بإحكام أو متناثرة على نطاق واسع. بمجرد الانتهاء من الحساب يدويًا مرة واحدة، يصبح المفهوم بديهيًا.
ما يخبرك به الانحراف المعياري
إذا حصل فصل من الطلاب على متوسط درجات امتحان يبلغ 70 مع انحراف معياري قدره 5، فإن معظم الدرجات تقع بين 65 و75. وإذا كان الانحراف المعياري 20، فستتراوح الدرجات على نطاق أوسع بكثير - من 50 إلى 90 وما بعدها.
الانحراف المعياري الصغير يعني الاتساق. واحد كبير يعني التباين.
السكان مقابل نموذج الانحراف المعياري
هناك نسختان، واختيار الإصدار الصحيح هو المهم:
الانحراف المعياري للسكان (σ): يُستخدم عندما يكون لديك بيانات لكل عضو في المجموعة التي تهتم بها. يقسم على ن.
الانحراف المعياري للعينة: يُستخدم عندما تكون بياناتك عينة مأخوذة من مجموعة أكبر من السكان. يقسم على n − 1 (تصحيح بيسل، الذي يفسر عدم اليقين الناتج عن أخذ العينات).
من الناحية العملية، يمكنك دائمًا استخدام عينة الانحراف المعياري - إلا إذا كنت تقوم بتحليل التعداد السكاني الكامل أو مجموعة بيانات يتم التحكم فيها دون وجود أعضاء مفقودين.
حساب خطوة بخطوة
مجموعة البيانات: 4، 7، 13، 2، 1 (عينة من 5 قيم)
الخطوة 1: حساب المتوسط
Mean (x̄) = (4 + 7 + 13 + 2 + 1) / 5 = 27 / 5 = 5.4
الخطوة 2: ابحث عن كل انحراف عن المتوسط
اطرح المتوسط من كل قيمة:
| القيمة (س) | الانحراف (س - س̄) |
|---|---|
| 4 | 4 − 5.4 = −1.4 |
| 7 | 7 − 5.4 = +1.6 |
| 13 | 13 − 5.4 = +7.6 |
| 2 | 2 − 5.4 = −3.4 |
| 1 | 1 − 5.4 = −4.4 |
الخطوة 3: قم بتربيع كل انحراف
التربيع يزيل الإشارات السلبية ويؤكد الانحرافات الأكبر:
| انحراف | الانحراف التربيعي |
|---|---|
| -1.4 | 1.96 |
| +1.6 | 2.56 |
| +7.6 | 57.76 |
| -3.4 | 11.56 |
| -4.4 | 19.36 |
الخطوة 4: جمع الانحرافات المربعة
Sum = 1.96 + 2.56 + 57.76 + 11.56 + 19.36 = 93.2
الخطوة 5: القسمة على n − 1 (لنموذج الانحراف المعياري)
Variance (s²) = 93.2 / (5 − 1) = 93.2 / 4 = 23.3
الخطوة 6: خذ الجذر التربيعي
Standard deviation (s) = √23.3 = 4.83
التفسير: تقع القيم الموجودة في مجموعة البيانات هذه عادةً على بعد حوالي 4.83 وحدة من المتوسط البالغ 5.4.
الصيغة المكتوبة
نموذج الانحراف المعياري:
s = √[ Σ(x − x̄)² / (n − 1) ]
الانحراف المعياري للسكان:
σ = √[ Σ(x − μ)² / n ]
حيث μ (mu) هو متوسط عدد السكان.
القاعدة التجريبية (قاعدة 68-95-99.7)
بالنسبة للبيانات التي تتبع التوزيع الطبيعي، يكون للانحراف المعياري علاقة موثوقة مع نسبة البيانات ضمن كل نطاق:
| يتراوح | نسبة البيانات |
|---|---|
| يعني ± 1 SD | ~68% |
| يعني ± 2 SD | ~95% |
| يعني ± 3 SD | ~99.7% |
مثال تطبيقي: يبلغ متوسط درجات الذكاء 100 وSD 15.
- 68% من الأشخاص يحصلون على درجات تتراوح بين 85 و115
- 95% درجة تتراوح بين 70 و130
- 99.7% درجات تتراوح بين 55 و145
تنطبق هذه القاعدة فقط على البيانات الموزعة بشكل طبيعي. بالنسبة للتوزيعات المنحرفة أو ذات الذيل الثقيل، استخدم متباينة تشيبيشيف بدلاً من ذلك.
التباين مقابل الانحراف المعياري
التباين هو الانحراف التربيعي (الخطوة 5 أعلاه) — الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي له. كلاهما يقيس الانتشار، ولكن يتم التعبير عن الانحراف المعياري بنفس وحدات البيانات الأصلية، مما يجعلها أكثر قابلية للتفسير.
إذا كانت بياناتك بالكيلو جرام، فإن انحرافك المعياري سيكون بالكيلو جرام. التباين الخاص بك هو بالكيلو جرام المربع، وهو أمر يصعب تفسيره بشكل مفيد.
التطبيقات الشائعة
المالية: قياس تقلبات الاستثمار. الأسهم ذات العوائد اليومية ذات SD مرتفع هي أكثر تقلبًا - مكاسب محتملة أعلى وخسارة محتملة أعلى.
مراقبة الجودة: يستخدم التصنيع SD لضمان بقاء المنتجات ضمن حدود التسامح. تؤدي العملية ذات SD الكبيرة جدًا إلى إنتاج عدد كبير جدًا من العناصر المعيبة.
التعليم: توحيد درجات الاختبار. تخبرك النتيجة z بعدد الانحرافات المعيارية التي تقع أعلى أو أقل من المتوسط: z = (x - mean) / SD.
العلم: التعبير عن عدم اليقين في القياس ومقارنة النتائج التجريبية.
اختصار للحساب
بالنسبة لمجموعات البيانات الكبيرة، استخدم الصيغة الحسابية التي تتجنب حساب الانحرافات بشكل فردي:
s² = [Σx² − (Σx)²/n] / (n − 1)
وهذا معادل رياضيًا ولكنه يتطلب تمريرتين فقط عبر البيانات بدلاً من ثلاثة.
استخدم حاسبة الانحراف المعياري لحساب الانحراف المعياري (SD) والتباين والتحليل الكامل لأي مجموعة بيانات تدخلها.