الانحراف المعياري هو المقياس الأكثر استخدامًا للانتشار في الإحصائيات. ويخبرك بمدى انتشار القيم حول المتوسط. يشرح هذا الدليل ذلك من المبادئ الأولى مع أمثلة عملية.
ما يخبرك به الانحراف المعياري
يخبرك المتوسط بمركز مجموعة البيانات. يخبرك الانحراف المعياري بمدى انحراف القيم عادةً عن هذا المركز.
انحراف معياري منخفض → القيم متجمعة بإحكام حول المتوسط انحراف معياري مرتفع ← تنتشر القيم على نطاق واسع عن المتوسط
متوسط درجة الامتحان في فصلين 70%، لكن:
- الفئة أ: درجات 68، 69، 70، 71، 72 — SD ≈ 1.4 (متسقة جدًا)
- الفئة ب: درجات 40، 55، 70، 85، 100 - SD ≈ 22.4 (متغير للغاية)
نفس المتوسط، توزيعات مختلفة جدا.
الصيغة
هناك إصداران يعتمدان على ما إذا كان لديك المجتمع الكامل أو العينة.
الانحراف المعياري للسكان (σ)
يُستخدم عندما يكون لديك بيانات لكل عضو في المجموعة.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
نموذج الانحراف المعياري (الانحراف المعياري)
يُستخدم عندما تكون بياناتك عينة من عدد أكبر من السكان (الحالة الأكثر شيوعًا).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
المقام هو n − 1 (وليس n) لتصحيح الانحياز الذي يأتي من تقدير معلمة مجتمعية من عينة. وهذا ما يسمى تصحيح بيسل.
حساب خطوة بخطوة
مجموعة البيانات: درجات الاختبار لستة طلاب: 72، 85، 68، 91، 74، 80
الخطوة 1: ابحث عن المتوسط
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
الخطوة 2: ابحث عن كل انحراف عن المتوسط
| نتيجة | الانحراف (س - س̄) | الانحراف التربيعي |
|---|---|---|
| 72 | -6.33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | -10.33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | -4.33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
الخطوة 3: جمع الانحرافات التربيعية
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
الخطوة 4: القسمة على n − 1 (عينة)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
الخطوة 5: خذ الجذر التربيعي
s = √(74.67) = 8.64
الانحراف المعياري هو 8.64 نقطة. تتراوح درجة الطالب النموذجية بحوالي 8-9 نقاط عن متوسط الفصل.
القاعدة 68-95-99.7
بالنسبة للبيانات الموزعة بشكل طبيعي (منحنى الجرس)، يكون للانحراف المعياري علاقة يمكن التنبؤ بها مع الانتشار:
- 68% من القيم تقع ضمن 1 SD من المتوسط
- 95% من القيم تقع ضمن 2 SD من المتوسط
- 99.7% من القيم تقع ضمن 3 SD من المتوسط
مطبق على مثالنا (المتوسط = 78.33، SD = 8.64):
- 68% من الدرجات: 78.33 ± 8.64 → 69.7 إلى 86.97
- 95% من الدرجات: 78.33 ± 17.28 → 61.05 إلى 95.61
- 99.7% من الدرجات: 78.33 ± 25.92 → 52.41 إلى 104.25
التباين مقابل الانحراف المعياري
التباين هو مربع الانحراف المعياري: s² = 74.67 في مثالنا.
لماذا نستخدم الانحراف المعياري بدلا من التباين؟
- الانحراف المعياري موجود بنفس وحدات بياناتك (النقاط، الدولارات، الأمتار)
- التباين يكون بوحدات مربعة - وهو أمر يصعب تفسيره عمليا
- "انحراف متوسط الدرجات بمقدار 8.64 نقطة" له معنى؛ "كان التباين 74.67 نقطة²" ليس كذلك
استخدامات العالم الحقيقي
التمويل: يعتبر السهم الذي يبلغ متوسط عوائده اليومية 0.05% وSD 1.2% أكثر خطورة بكثير من السهم الذي له نفس متوسط العائد وSD 0.3%. الانحراف المعياري هو أساس قياس التقلبات.
التصنيع: يعد المصنع الذي ينتج مسامير بقطر مستهدف يبلغ 10 مم وقطر SD يبلغ 0.02 مم أكثر اتساقًا بكثير من المسمار الذي يبلغ قطره SD 0.5 مم. تعتمد مراقبة الجودة على SD.
الطب: تشير التجارب السريرية إلى الانحراف المعياري (SD) جنبًا إلى جنب مع الوسائل التي توضح مدى اتساق العلاج بين المرضى.
الطقس: يخبرك "متوسط درجة الحرارة 18 درجة مئوية مع متوسط 4 درجات مئوية" أكثر بكثير من المتوسط وحده - فأنت تعرف ما يجب أن تحزمه.
نتائج Z
تقوم Z-score بتحويل أي قيمة إلى وحدات الانحراف المعياري، مما يتيح المقارنة عبر مجموعات البيانات المختلفة:
z = /x - x̄s
طالب حصل على 91 في مثالنا:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
هذه النتيجة هي 1.47 انحراف معياري فوق المتوسط - أفضل من حوالي 93% من طلاب الفصل.
حساب الانحراف المعياري الآن
تقوم حاسبة الإحصائيات الخاصة بنا بحساب الانحراف المعياري والتباين والمتوسط والوسيط والمنوال والمزيد من أي مجموعة بيانات تدخلها. الصق أرقامك واحصل على النتائج الكاملة على الفور.