Z-резултат (или стандартен резултат) измерва колко стандартни отклонения има точка от данни от средната стойност. Той преобразува необработените резултати в стандартизирана скала, която позволява сравнение между различни набори от данни.
Формулата Z-Score
z = (x − μ) ÷ σ
където:
- x = индивидуална точка от данни
- μ (mu) = средна популация
- σ (сигма) = стандартно отклонение на популацията
За проба заменете μ с x̄ (средно за извадката) и σ с s (проба SD).
Работен пример
Студент получава 72 точки на изпит. Средната стойност на класа е 65, а стандартното отклонение е 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Този ученик отбеляза 0,875 стандартни отклонения над средната стойност.
Интерпретиране на Z-резултати
| Z-резултат | Тълкуване | Процентил (прибл.) |
|---|---|---|
| −3 | Изключително под средното | 0.1% |
| −2 | Доста под средното | 2.3% |
| −1 | Под средното | 15.9% |
| 0 | Средно | 50.0% |
| +1 | Над средното | 84.1% |
| +2 | Доста над средното | 97.7% |
| +3 | Изключително над средното ниво | 99.9% |
Правилото 68-95-99.7
При нормално разпределение:
- 68% от данните попадат в рамките на ±1 стандартно отклонение
- 95% в рамките на ±2 стандартни отклонения
- 99,7% в рамките на ±3 стандартни отклонения
Преобразуване на Z-резултат в процентил
След като имате z-резултат, потърсете стандартната нормална таблица (Z-таблица) или използвайте:
Percentile = Φ(z) × 100
Където Φ е кумулативната функция на нормалното разпределение.
Пример: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3-ти персентил
Приложения на Z-Scores
Финанси:
- Altman Z-Score прогнозира риска от фалит
- Използва се при управление на риска за идентифициране на отклонения
Здравеопазване:
- ИТМ за възрастови z-резултати за деца
- Т-резултатите за костна плътност (DXA) са форма на z-скор
Качествен контрол:
- Six Sigma използва z-резултати за измерване на капацитета на процеса
- Процесът "6-сигма" има z-резултат 6 (3,4 дефекта на милион)
Стандартизиране на резултатите от теста:
- IQ резултати: средно 100, SD 15 (z-резултат от +2 → IQ 130)
- SAT резултати: средно 1000, SD 200 (мащабирано от z-резултати)
Сравняване на резултати от различни тестове
Пример: Алис отбеляза 80 на тест A (средно 70, SD 10). Боб отбеляза 55 на тест B (средно 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Въпреки по-ниския необработен резултат, Боб се представи по-добре в сравнение с връстниците си.