Binomické rozdělení pravděpodobnosti odpovídá na základní otázku: pokud má událost známou pravděpodobnost úspěchu, jaká je pravděpodobnost získání právě určitého počtu úspěchů v pevném počtu nezávislých pokusů? To se uplatňuje při kontrole kvality, lékařském testování, hodech mincí a všude tam, kde probíhá pevný počet pokusů s výsledkem ano/ne.

Vzorec

Vzorec binomické pravděpodobnosti vypočítá pravděpodobnost právě k úspěchů v n nezávislých pokusech:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Kde:

  • n = počet pokusů
  • k = požadovaný počet úspěchů
  • p = pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu
  • C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — počet kombinací

C(n,k) říká, kolika způsoby lze seřadit k úspěchů v n pokusech.

Řešený Příklad

Inspektor kvality náhodně odebírá 10 žárovek z dávky, o níž je známo, že má 5% míru vadných kusů. Jaká je pravděpodobnost, že právě 2 žárovky jsou vadné?

  • n = 10 pokusů
  • k = 2 úspěchy (vady)
  • p = 0.05 (míra vad)
  • 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 neboli 7.46%

Pravděpodobnost nalezení právě 2 vadných žárovek v tomto vzorku je tedy 7.46%.

Příbuzné Pravděpodobnosti

Často potřebujete kumulativní pravděpodobnost — „nejvýše 2 vady" nebo „alespoň 2 vady":

  • P(X ≤ k): Sečtěte všechny pravděpodobnosti od 0 do k
  • P(X ≥ k): Sečtěte všechny pravděpodobnosti od k do n

Pro velké n binomické rozdělení aproximuje normální rozdělení, proto se místo něj používají z-skóry a normální tabulky.

Kdy Použít Binomickou Pravděpodobnost

Toto rozdělení použijte, když:

  • Máte pevný počet pokusů
  • Každý pokus má dva výsledky (úspěch/neúspěch, vadný/dobrý, ano/ne)
  • Pravděpodobnost úspěchu je konstantní
  • Pokusy jsou nezávislé

Mezi běžné aplikace patří účinnost klinických studií, volební průzkumy, míry vad ve výrobě a předpovědi výsledků her.

Tipy

Binomický vzorec je výpočetně náročný pro velké n — kalkulátory a statistický software jsou nezbytné. Pamatujte také, že tento vzorec předpokládá nezávislé události s konstantní pravděpodobností; pokud jsou tato předpoklady porušena, výsledek bude nepřesný.

Použijte naši kalkulačku binomické pravděpodobnosti k okamžitému výpočtu pravděpodobností bez ruční kalkulace.