Kruhy se vyskytují všude — kola, potrubí, kruhové místnosti, pizza, planety. Dva rozměry zcela definují každý kruh: obvod (vzdálenost kolem okraje) a obsah (prostor uvnitř). Oba vyplývají přímo z jediné hodnoty: poloměru.

Klíčové pojmy

Poloměr (r): Vzdálenost od středu kruhu k libovolnému bodu na jeho okraji. Toto je základní rozměr — všechny vzorce pro kružnici ho používají.

Průměr (d): Vzdálenost přes kruh procházející středem. Vždy přesně dvojnásobek poloměru: d = 2r.

Obvod (C): Obvod kruhu — celková vzdálenost kolem vnějšího okraje.

Obsah (A): Množství dvourozměrného prostoru uzavřeného kruhem.

π (pí): Poměr obvodu libovolné kružnice k jejímu průměru. Je iracionální (nekonečný, neperiodický) a přibližně rovný 3,14159265...

Vzorec pro obvod

C = 2πr    nebo ekvivalentně    C = πd

Příklad: Kruh s poloměrem 5 cm

C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31,42 cm

Pomocí průměru: Je-li zadán průměr přímo:

C = π × d = π × 10 = 10π ≈ 31,42 cm

Oba způsoby dávají stejný výsledek — zvolte měření, které máte k dispozici.

Vzorec pro obsah

A = πr²

Příklad: Stejný kruh s poloměrem 5 cm

A = π × 5² = 25π ≈ 78,54 cm²

Poznámka: obsah je vždy ve čtvercových jednotkách (cm², m², in²). Obvod je v délkových jednotkách (cm, m, in).

Zpětný výpočet z obvodu nebo obsahu

Někdy znáte obvod nebo obsah a potřebujete zjistit poloměr.

Poloměr z obvodu:

r = C / (2π)

Poloměr z obsahu:

r = √(A / π)

Průměr z obvodu:

d = C / π

Příklad: Kruhové pole má obvod 150 m. Jaký je jeho obsah?

Krok 1: Zjistěte poloměr

r = 150 / (2π) = 150 / 6,2832 = 23,87 m

Krok 2: Zjistěte obsah

A = π × 23,87² = π × 569,8 ≈ 1 790 m²

Časté příklady

Průřez kruhové trubky

Trubka má vnitřní průměr 40 mm. Jaký je průřez?

r = 40 / 2 = 20 mm
A = π × 20² = 400π ≈ 1 257 mm²

Běžecká dráha

Kruhová dráha má poloměr 40 m. Jak daleko je jedno kolo?

C = 2π × 40 = 80π ≈ 251,3 m

Porovnání velikosti pizzy

Je pizza o průměru 14 palců více než dvě pizzy o průměru 10 palců?

Pizza 14 palců:

A = π × 7² = 49π ≈ 153,9 in²

Dvě pizzy 10 palců:

A = 2 × π × 5² = 2 × 25π = 50π ≈ 157,1 in²

Dvě pizzy 10 palců dají nepatrně více pizzy — ale pouze pokud je cena srovnatelná.

Výseče a oblouky

Výseč je „plátek" kruhu (jako kousek koláče), definovaný středovým úhlem θ.

Délka oblouku (zakřivený okraj výseče):

Oblouk = (θ / 360) × 2πr    [stupně]
Oblouk = θr                   [radiány]

Obsah výseče:

Obsah výseče = (θ / 360) × πr²    [stupně]
Obsah výseče = ½r²θ               [radiány]

Příklad: Výseč s poloměrem 8 cm a středovým úhlem 45°

Délka oblouku = (45 / 360) × 2π × 8 = (1/8) × 16π = 2π ≈ 6,28 cm
Obsah výseče = (45 / 360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25,13 cm²

Mezikruží (prstenec)

Mezikruží je oblast mezi dvěma soustřednými kružnicemi s poloměry R (vnější) a r (vnitřní).

Obsah mezikruží = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r)

Příklad: Kruhový lem s vnějším poloměrem 10 m a vnitřním poloměrem 7 m:

Obsah = π(10² − 7²) = π(100 − 49) = 51π ≈ 160,2 m²

Přehled vzorců

Rozměr Vzorec
Obvod C = 2πr = πd
Obsah A = πr²
Poloměr z C r = C / (2π)
Poloměr z A r = √(A/π)
Délka oblouku (stupně) Oblouk = (θ/360) × 2πr
Obsah výseče (stupně) A = (θ/360) × πr²
Obsah mezikruží A = π(R² − r²)

Použijte naši kalkulačku kruhu k výpočtu libovolného rozměru — zadejte jednu hodnotu a okamžitě získejte všechny ostatní.