Kubická rovnice je polynom 3. stupně ve tvaru ax³ + bx² + cx + d = 0. Na rozdíl od kvadratických rovnic může mít 1, 2 nebo 3 reálná řešení.

Obecný Tvar

ax³ + bx² + cx + d = 0

Kde a ≠ 0. Rovnice může mít:

  • 3 různé reálné kořeny
  • 1 reálný a 2 komplexně sdružené kořeny
  • Násobný kořen (diskriminant roven nule)

Cardanův Vzorec

Deprimujte kubickou rovnici (eliminujte x²) substitucí x = t - b/(3a):

t³ + pt + q = 0

Diskriminant: Δ = -4p³ - 27q²

Δ > 0: tři různé reálné kořeny; Δ = 0: alespoň dva stejné; Δ < 0: jeden reálný a dva komplexní.

Řešený Příklad

Vyřešte x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

Test x = 1: 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓

Rozkladem: (x-1)(x-2)(x-3) = 0 → x = 1, 2, 3.

Metody bez Rozkladu

  1. Cardanův vzorec (algebraicky přesný, ale složitý)
  2. Numerické metody (Newton-Raphson)
  3. Grafické odhadování kořenů

Aplikace

  • Inženýrství (analýza napětí, dynamika tekutin)
  • Fyzika (pohyb v odporujícím prostředí)
  • Ekonomika (optimalizační úlohy)
  • Počítačová grafika (kubické Bézierovy křivky)

Tipy

Pro racionální kořeny použijte větu o racionálních kořenech. Vždy ověřte kořeny dosazením.

Použijte náš Řešič kubických rovnic.