Halveringstid er den tid, det tager for halvdelen af et stof at henfalde eller omdanne. Det dukker op i kernefysik, farmakologi, kemi og arkæologi - hvor som helst noget falder eksponentielt.
Half-Life-formlen
N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)
Eller tilsvarende:
N(t) = N₀ × e^(−λt)
Hvor:
- N(t) = resterende mængde på tidspunktet t
- N₀ = begyndelsesmængde
- t½ = halveringstid
- λ = henfaldskonstant = ln(2) ÷ t½ ≈ 0,693 ÷ t½
- e = Eulers tal (2.718...)
Grundlæggende halveringstidsberegning
Hvor meget er der tilbage efter n halveringstider?
Remaining fraction = (½)^n = 1 ÷ 2^n
| Halveringstiden er forløbet | Brøkdel tilbage | Procent |
|---|---|---|
| 1 | 1/2 | 50% |
| 2 | 1/4 | 25% |
| 3 | 1/8 | 12.5% |
| 4 | 1/16 | 6.25% |
| 5 | 1/32 | 3.125% |
| 7 | 1/128 | 0.78% |
| 10 | 1/1024 | 0.098% |
Eksempel: 200 g af et stof med en halveringstid på 10 dage efter 30 dage:
- Antal halveringstider = 30 ÷ 10 = 3
- Resterende = 200 × (½)³ = 200 × 0,125 = 25 g
Finde resterende beløb til enhver tid
N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)
Eksempel: 500 mg stof, halveringstid = 8 timer. Hvor meget er der tilbage efter 20 timer?
- N(20) = 500 × (½)^(20/8)
- N(20) = 500 × (0,5)^2,5
- N(20) = 500 × 0,1768 = 88,4 mg
Finder forløbet tid fra resterende beløb
t = t½ × log(N(t)/N₀) ÷ log(½)
Eller: t = t½ × ln(N₀/N(t)) ÷ ln(2)
Eksempel: Start med 1.000 g, halveringstid = 5 år. Hvornår er der 62,5 g tilbage?
- 62,5/1.000 = 0,0625 = (½)^n → n = 4 halveringstider
- t = 4 × 5 = 20 år
Forfaldskonstanten
λ = ln(2) ÷ t½ ≈ 0.693 ÷ t½
Henfaldskonstanten λ er sandsynligheden pr. tidsenhed for, at en kerne henfalder. Det bruges i den eksponentielle henfaldsformel:
N(t) = N₀ × e^(−λt)
Eksempel: Halveringstid = 20 minutter:
- λ = 0,693 ÷ 20 = 0,03466 pr. minut
- Efter 60 minutter: N = N₀ × e^(−0,03466 × 60) = N₀ × e^(−2,079) = N₀ × 0,125
Dette bekræfter: 60 minutter = 3 halveringstider → 12,5 % tilbage ✓
Radioaktive isotophalveringstider
| Isotop | Half-Life | Bruge |
|---|---|---|
| Kulstof-14 | 5.730 år | Radiocarbon-datering |
| Uran-238 | 4,47 milliarder år | Geologisk aldersdatering |
| Jod-131 | 8.02 dage | Behandling af kræft i skjoldbruskkirtlen |
| Technetium-99m | 6.01 timer | Medicinsk billeddannelse |
| Polonium-210 | 138,4 dage | — |
| Strontium-90 | 28,8 år | Bekymring om atomnedfald |
Carbon Dating: Praktisk anvendelse
Kulstof-14 har en halveringstid på 5.730 år og findes i alle levende organismer. Når en organisme dør, holder den op med at absorbere nyt C-14, så forholdet mellem C-14 og C-12 falder forudsigeligt.
Age = t½ ÷ ln(2) × ln(N₀/N)
Eksempel: En prøve har 25 % tilbage af sin oprindelige C-14:
- 25% = (½)^n → n = 2 halveringstider
- Alder = 2 × 5.730 = 11.460 år gammel
Kulstofdatering er pålidelig for prøver op til ~50.000 år gamle (ca. 8-9 halveringstider, hvorefter der er så lidt C-14 tilbage, at målingen bliver upålidelig).
Halveringstid i farmakologi
Lægemidlets halveringstid bestemmer doseringshyppigheden. Efter 4-5 halveringstider er ca. 94-97 % af et lægemiddel elimineret:
| Medicin | Half-Life | Doseringsfrekvens |
|---|---|---|
| Ibuprofen | 2 timer | Hver 4-6 time |
| Aspirin | 15-20 minutter* | Dagligt for blodpladehæmmende |
| Koffein | 5-6 timer | Virker ~8-10 timer |
| Diazepam (Valium) | 20-100 timer | En gang dagligt eller mindre |
*Aspirins virkning på blodplader varer meget længere end dets egen halveringstid på grund af irreversibel binding.
Brug vores eksponentberegner til hurtigt at beregne (½)^n for et hvilket som helst antal halveringstider.