Pythagoras sætning er et af de mest berømte resultater i hele matematikken - enkel nok til at angive på én linje, dybtgående nok til at have over 370 kendte beviser. Her er alt, hvad du behøver at vide, fra formlen til praktiske anvendelser.
Formlen
For enhver retvinklet trekant (en trekant med én 90° vinkel):
a^2 + b^2 = c^2
Hvor a og b er de to ben (siderne, der danner den rette vinkel) og c er hypotenusen (siden modsat den rette vinkel - altid den længste side).
Finder hver side
Find hypotenusen (c):
c = √(a^2 + b^2)
Sådan finder du et ben (a):
a = √(c^2 - b^2)
Find det andet ben (b):
b = √(c^2 - a^2)
Bearbejdede eksempler
Eksempel 1: En retvinklet trekant har ben på 3 cm og 4 cm. Find hypotenusen.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
Eksempel 2: En stige på 10 meter læner sig op ad en væg med sin base 4 meter fra væggen. Hvor højt når den?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9,17 meter
Pythagoras tripler
En pythagoras tripel er et sæt af tre hele tal, der opfylder a² + b² = c². Disse dukker ofte op i problemer og er værd at huske:
| -en | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Ethvert multiplum af en tripel er også en tripel: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) alle virker.
Et simpelt bevis
Det mest elegante bevis bruger områder. Tegn en stor firkant med side (a + b). Indeni den skal du arrangere fire kopier af den rigtige trekant med benene a og b.
De fire trekanter optager arealet 4 × (½ab) = 2ab. Det resterende rum i den store firkant skal være c² (firkanten på hypotenusen).
Den store firkant har areal (a + b)² = a² + 2ab + b².
Altså: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
Derfor: a² + b² = c²
Real-World-applikationer
Byggeri og Tømrerarbejde
"3-4-5-reglen" bruges hver dag på byggepladser for at kontrollere, at hjørnerne er helt firkantede. Mål 3 enheder langs den ene væg, 4 enheder langs den tilstødende væg, og kontroller derefter, at diagonalen måler nøjagtigt 5 enheder. Hvis den gør det, er vinklen præcis 90°.
Navigation
Før GPS brugte navigatører sætningen konstant. Hvis du rejser 30 km mod øst og derefter 40 km mod nord, er din lineære afstand fra start √(30² + 40²) = √2500 = 50 km.
Moderne GPS-systemer bruger en 3D-udvidelse af teoremet til at beregne afstande mellem koordinater.
Skærmstørrelser
Et "65-tommer TV" har et diagonalt skærmmål på 65 tommer. Hvis du kender størrelsesforholdet (16:9), kan du finde den nøjagtige bredde og højde ved hjælp af sætningen. For en 65" 16:9 skærm: bredde ≈ 56,7", højde ≈ 31,9".
Teknik og fysik
Sætningen er grundlæggende inden for konstruktionsteknik (beregning af bærende diagonaler), computergrafik (gengivelse af 3D-scener) og fysik (beregning af resulterende vektorer - den kombinerede effekt af to kræfter i rette vinkler).
3D Extension: Distance Formula
Pythagoras sætning strækker sig naturligt til tre dimensioner:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
Dette bruges i computergrafik, fysiksimuleringer, GPS-beregninger og ethvert system, der arbejder med 3D-koordinater.
Beregn Pythagoras sætning nu
Brug vores gratis lommeregner til at finde en hvilken som helst side af en retvinklet trekant givet de to andre. Indtast en hvilken som helst to sider og få den tredje med det samme, sammen med trin-for-trin arbejde.