En andengradsligning har formen ax² + bx + c = 0. Der er fire metoder til at løse dem - at vide, hvilken man skal bruge og hvornår gør algebra meget hurtigere.

Standardformular

Hver andengradsligning kan skrives som:

ax² + bx + c = 0

Hvor a ≠ 0 (hvis a = 0, er det en lineær ligning).

Eksempler:

  • x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
  • 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
  • x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)

Metode 1: Factoring

Fungerer bedst, når ligningen opdeles i heltal. Hurtigste metode, når det er relevant.

Trin:

  1. Skriv i standardform
  2. Find to tal, der ganges til (a × c), og læg til b
  3. Opdel mellemleddet og faktor ved at gruppere
  4. Indstil hver faktor lig med nul

Eksempel: x² − 5x + 6 = 0

  • Brug for to tal: gange til 6, læg til −5 → −2 og −3
  • Faktor: (x − 2)(x − 3) = 0
  • Løsninger: x = 2 eller x = 3

Eksempel: 2x² + 5x + 3 = 0

  • a × c = 6, kræver faktorer adderet til 5 → 2 og 3
  • Omskriv: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
  • Faktor: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
  • Faktor: (2x + 3)(x + 1) = 0
  • Løsninger: x = −3/2 eller x = −1

Hvornår skal du bruge: Når du hurtigt kan se faktorerne. Hvis du ikke finder faktorer inden for 30 sekunder, så skift metode.

Metode 2: Den kvadratiske formel

Virker for hver andengradsligning. Brug dette, når factoring ikke er indlysende.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)

Eksempel: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)

  • Diskriminerende: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
  • √25 = 5
  • x = (−3 ± 5) ÷ 4
  • x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5 eller x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2

Diskriminanten: Hvor mange løsninger?

Udtrykket b² − 4ac fortæller dig karakteren af ​​løsninger, før du løser:

Diskriminerende Antal løsninger Type
b² − 4ac > 0 To adskilte rigtige løsninger Reelle tal
b² − 4ac = 0 En gentagen løsning Ægte, lige rødder
b² − 4ac < 0 Ingen rigtige løsninger To komplekse/imaginære rødder

Eksempel: x² + 2x + 5 = 0

  • Diskriminerende = 4 − 20 = −16 → ingen reelle løsninger
  • Komplekse løsninger: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i

Metode 3: Fuldførelse af kvadratet

Transformerer ligningen til (x + p)² = q-form. Vigtigt for at forstå toppunktsformen og udlede den kvadratiske formel.

Trin:

  1. Flyt konstant til højre side
  2. Divider med a (hvis a ≠ 1)
  3. Tilføj (b/2a)² til begge sider
  4. Faktor venstre side som en perfekt firkant
  5. Tag kvadratroden af ​​begge sider

Eksempel: x² + 6x + 5 = 0

  1. x² + 6x = −5
  2. Tilføj (6/2)² = 9 til begge sider: x² + 6x + 9 = 4
  3. (x + 3)² = 4
  4. x + 3 = ±2
  5. x = −1 eller x = −5

Metode 4: Tegning af grafer

Løsningerne (rødderne) er x-skæringspunkterne for parablen y = ax² + bx + c.

  • To x-skæringer → to reelle løsninger
  • Ét x-skæringspunkt (top på x-aksen) → én gentaget løsning
  • Ingen x-skæringer → ingen rigtige løsninger (komplekse rødder)

Hvornår skal du bruge: Til visuel forståelse eller ved brug af en grafregner. Ikke praktisk til præcise svar.

Valg af den rigtige metode

Situation Bedste metode
Heltalskoefficienter, ser faktorbare ud Factoring først
Enhver kvadratisk, har brug for nøjagtigt svar Kvadratisk formel
Forstå toppunkt/minimum/maksimum Færdiggørelse af pladsen
Visuel forståelse eller tilnærmelse Tegning af grafer
b² − 4ac < 0 Kvadratisk formel (giver komplekse rødder)

Hurtig reference: Almindelige mønstre

Forskel mellem kvadrater: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k

Perfekt kvadratisk trinomium: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (gentaget)

Ingen mellemled: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (kun reel hvis c og a har modsatte fortegn)

Sum og produkt af rødder

For ax² + bx + c = 0 med rødderne r₁ og r₂:

r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a

Eksempel på bekræftelse: x² − 5x + 6 = 0, rødder 2 og 3:

  • Sum: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
  • Produkt: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓

Brug vores kubiske ligningsløser til grad-3-ligninger, eller anvend den andengradsformel ovenfor for en hvilken som helst anden andengradsform.