En z-score måler, hvor mange standardafvigelser en værdi er fra middelværdien. Det er grundlaget for statistisk inferens, hvilket giver dig mulighed for at konvertere enhver normalfordeling til en standardiseret skala, hvor du kan finde sandsynligheder ved hjælp af en universel normaltabel eller lommeregner.
Formlen
z = (x - μ) / σ
Hvor:
- x = den værdi, du evaluerer
- μ (mu) = befolkningsmiddelværdi
- σ (sigma) = populationsstandardafvigelse
En z-score på 0 betyder, at værdien er lig med middelværdien. Positive z-scores er over middelværdien; negative z-scores er nedenfor. Størrelsen fortæller dig afstanden i standardafvigelser.
Bearbejdet eksempel
En college-optagelsesprøve har middelværdi 500 og standardafvigelse 100. Du scorer 650. Hvad er din z-score?
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
Din score er 1,5 standardafvigelser over gennemsnittet. Ved at bruge standard normaltabellen, P(z ≤ 1,5) ≈ 0,9332, hvilket betyder, at omkring 93,32 % af testdeltagerne scorede under dig.
Brug af Z-Score-tabeller
Efter at have beregnet z, slår man dens sandsynlighed op i en standard normaltabel, som giver kumulative sandsynligheder P(Z ≤ z). Tabeller viser:
- Ensidede sandsynligheder: P(Z ≤ z) eller P(Z ≥ z)
- To-halede sandsynligheder: nyttig til konfidensintervaller og hypotesetests
For eksempel svarer z = 1,96 til P(Z ≤ 1,96) ≈ 0,975. Arealet i begge haler ud over z = ±1,96 er 0,05, hvorfor 1,96 er den kritiske værdi for 95 % konfidensintervaller.
Almindelige Z-Score Cutoffs
| Z-score | Kumulativ sandsynlighed | Percentil |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0.13 |
| -2 | 0.0228 | 2.28 |
| -1 | 0.1587 | 15.87 |
| 0 | 0.5000 | 50 |
| 1 | 0.8413 | 84.13 |
| 2 | 0.9772 | 97,72 |
| 3 | 0.9987 | 99,87 |
Hvornår skal du bruge
Z-score er afgørende for:
- Sammenligning af værdier fra forskellige fordelinger
- Finde sandsynligheder ved hjælp af normalfordelingen
- Identifikation af outliers (normalt |z| > 3)
- Hypotesetestning og konfidensintervaller
- Standardisering af testresultater
Tips
Z-score virker kun for normalfordelte data. Hvis din fordeling er meget skæv eller har tunge haler, vil z-score være vildledende. Husk også forskellen mellem z (populationsparameter) og t (stikprøvestatistik) — brug z, når σ er kendt, t, når du estimerer det ud fra stikprøven.
Brug vores Z-Score Calculator til at konvertere score til z-score og finde sandsynligheder med det samme.