Was ist Black-Scholes Option Pricing?
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Das Black-Scholes-Modell berechnet den fairen Preis einer europäischen Option – einem Vertrag, der Ihnen das Recht, aber nicht die Verpflichtung gibt, eine Aktie zu einem festen Preis an einem bestimmten Datum in der Zukunft zu kaufen (Call) oder zu verkaufen (Put). Vor 1973 wurden Optionen durch Intuition und Verhandlungen bewertet. Fischer Black und Myron Scholes änderten alles mit einer einzigen Gleichung, die den Optionspreis als mathematische Gewissheit angesichts fünf beobachtbarer Eingaben behandelte. Zusammen mit den Verfeinerungen von Robert Merton brachte diese Arbeit Scholes und Merton 1997 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ein und brachte den modernen Derivatemarkt im Wert von Hunderten Billionen Dollar hervor. Das Modell geht davon aus, dass der Aktienkurs einem Random Walk mit konstanter Volatilität folgt, dass es keine Dividenden gibt und dass Sie kontinuierlich ohne Transaktionskosten handeln können. In der Praxis verwenden Händler es als Benchmark – sie geben aktuelle Marktpreise ein, um die „implizite Volatilität“, die Konsensprognose des Marktes darüber, wie stark sich die Aktie bewegen wird, rückzurechnen. Jeder Optionshändler beobachtet die implizite Volatilität, weil sie Ihnen sagt, ob Optionen im Vergleich zur Geschichte günstig oder teuer sind. Wenn die implizite Volatilität hoch ist, kosten Optionen mehr; wenn sie niedrig sind, kosten sie weniger. Das Modell weist bekannte Einschränkungen auf – es unterschätzt die Wahrscheinlichkeit extremer Marktbewegungen (Fat Tails) und bricht bei Optionen im amerikanischen Stil zusammen, die frühzeitig ausgeübt werden können – aber es bleibt der universelle Ausgangspunkt für die Preisgestaltung und das Risikomanagement aller Optionen.
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Formel
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Call-Preis = S·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂)
Put-Preis = K·e^(−rT)·N(−d₂) − S·N(−d₁)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] / (σ·√T)
d₂ = d₁ − σ·√T
N(x) = standardmäßige kumulative NormalverteilungsfunktionVariablenbeschreibung
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| Symbol | Name | Einheit | Beschreibung |
|---|---|---|---|
| S | Aktueller Aktienkurs | currency | Der aktuelle Aktienkurswert, der als kritischer Eingabeparameter bei der Black-Scholes-Berechnung dient und direkten Einfluss auf die Größe und Genauigkeit des berechneten Ausgabeergebnisses hat |
| K | Ausübungspreis | currency | Der Ausübungspreiswert, der als kritischer Eingabeparameter bei der Black-Scholes-Berechnung dient und direkten Einfluss auf die Größe und Genauigkeit des berechneten Ausgabeergebnisses hat |
| r | Risikofreier Zinssatz | % per year | Der risikofreie Zinssatzwert, der als kritischer Eingabeparameter bei der Black-Scholes-Berechnung dient und direkten Einfluss auf die Größe und Genauigkeit des berechneten Ausgabeergebnisses hat |
| T | Zeit bis zum Ablauf | years | Verbleibende Zeit bis zum Ablauf der Option, ausgedrückt in Jahren (z. B. 90 Tage = 0,247 Jahre) |
| σ | Volatilität | % per year | Annualisierte Standardabweichung der logarithmischen Renditen der Aktie; der entscheidende und einzige nicht beobachtbare Input des Modells |
Anleitung Black-Scholes Option Pricing
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- 1Sammeln Sie die fünf Eingaben: aktueller Aktienkurs (S), Ausübungspreis (K), risikofreier Zinssatz (r), Verfallszeit in Jahren (T) und erwartete Volatilität (σ).
- 2Berechnen Sie d₁: Dies erfasst, wie weit die Option im Geld ist, angepasst an Zeit und Volatilität.
- 3Berechnen Sie d₂ = d₁ − σ√T: Dies ist d₁, das um die Unsicherheit des Kursverlaufs der Aktie nach unten korrigiert wurde.
- 4Suchen Sie N(d₁) und N(d₂) aus der Standardnormalverteilung nach – diese stellen die Wahrscheinlichkeiten dar, mit denen die Option im Geld verfällt.
- 5Für einen Call: Multiplizieren Sie den Aktienkurs mit N(d₁) und subtrahieren Sie dann den ermäßigten Ausübungspreis multipliziert mit N(d₂).
- 6Für einen Put: Verwenden Sie die Put-Call-Parität oder die direkte Put-Formel. Put = Call − S + K·e^(−rT).
- 7Vergleichen Sie den Modellpreis mit dem Marktpreis; Wenn sie sich unterscheiden, wird der Unterschied durch eine unterschiedliche Volatilitätsannahme erklärt – dass die implizite Volatilität das tatsächliche Signal des Marktes ist.
Gelöste Beispiele
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Optionen am Geld (S=K) werden am häufigsten gehandelt; Ihr Preis reagiert am empfindlichsten auf Volatilitätsänderungen.
Da die Aktie genau dem Ausübungspreis entspricht, hat die Option keinen inneren Wert – alle 10,45 $ sind Zeitwert. Etwa die Hälfte der Prämie ergibt sich aus dem Potenzial, dass die Aktie über 100 US-Dollar steigt, und die Zinskomponente (Zeitwert des Geldes) sorgt für einen kleinen Abschlag auf den Basispreis.
Hohe Volatilität lässt die Optionspreise außerhalb des Geldes dramatisch in die Höhe schnellen – die Aktie hat sechs Monate Zeit, um um 25 % zu steigen.
Obwohl die Option zu 20 % aus dem Geld ist, hat sie aufgrund der hohen impliziten Volatilität (40 %) und der Restlaufzeit von 6 Monaten einen sinnvollen Wert. Eine auf das Jahr hochgerechnete Volatilität von 40 % bedeutet, dass die Schwankungen über einen Zeitraum von sechs Monaten um etwa ±25 % innerhalb einer Standardabweichung liegen, was einen Anstieg auf 100 US-Dollar plausibel macht.
Tief im Geld liegende Puts haben einen Preis nahe dem inneren Wert (K−S=30 $) mit einem kleinen Zeitaufschlag.
Der Put ist nahezu seinen vollen inneren Wert von 30 US-Dollar wert, da er bisher im Geld ist. Der kleine Abschlag von 30 $ spiegelt die risikofreien Zinsen wider, die durch das Warten erzielt werden (Sie könnten alternativ die Aktie leerverkaufen und die 100 $ zu 3 % investieren). Der Zeitaufschlag ist gering, da wenig Unsicherheit darüber besteht, ob dieser Put im Geld verfällt.
Händler nutzen umgekehrt Black-Scholes, um die Volatilitätsprognose des Marktes aus Optionspreisen zu extrahieren.
Wenn der Modellpreis bei 20 % Volatilität nur 5,50 $ beträgt, der Markt jedoch bei 8,00 $ gehandelt wird, impliziert der Markt eine höhere Volatilität – etwa 28,5 %. Diese implizite Volatilität ist das eigentliche Signal: Sie zeigt Ihnen, dass der Markt überdurchschnittliche Bewegungen erwartet. Händler vergleichen die implizite Volatilität mit der historischen Volatilität, um zu entscheiden, ob Optionen günstig oder teuer sind.
Praktische Anwendungen
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Bepreisung von Aktien-, Index- und ETF-Optionen an Börsen weltweit, die es Praktikern ermöglicht, fundierte quantitative Entscheidungen auf der Grundlage validierter Berechnungsmethoden und branchenüblicher Ansätze zu treffen, was eine präzise quantitative Analyse erfordert, um evidenzbasierte Entscheidungen, strategische Ressourcenzuweisung und Leistungsoptimierung in verschiedenen Organisationskontexten und Berufsdisziplinen zu unterstützen
Bewertung von Mitarbeiteraktienoptionen für die Finanzberichterstattung (ASC 718/IFRS 2), um Analysten dabei zu helfen, genaue Ergebnisse zu erzielen, die die strategische Planung, Ressourcenzuteilung und Leistungsbenchmarking in allen Organisationen unterstützen, wobei genaue numerische Berechnungen für die Erstellung zuverlässiger Ergebnisse, die Planung, Bewertung und kontinuierliche Verbesserungsprozesse sowohl im Unternehmens- als auch im individuellen Umfeld beeinflussen, unerlässlich sind
Extraktion der impliziten Volatilität zur Erstellung des VIX-Index und anderer Volatilitäts-Benchmarks, die es Fachleuten ermöglicht, Ergebnisse systematisch zu quantifizieren und Szenarien mithilfe zuverlässiger mathematischer Rahmenwerke und etablierter Formeln zu vergleichen, wobei systematische Berechnungsansätze erforderlich sind, die rohe Eingabedaten in umsetzbare Erkenntnisse für Stakeholder umwandeln, die in ihrer täglichen beruflichen Tätigkeit auf quantitative Genauigkeit angewiesen sind
Absicherung von Optionsbüchern mithilfe von Delta, Gamma und Vega, die aus dem Modell berechnet werden, und Unterstützung datengesteuerter Bewertungsprozesse, bei denen numerische Präzision für Compliance-, Berichts- und Optimierungsziele unerlässlich ist und robuste Berechnungsmethoden erfordert, die konsistente und überprüfbare Ergebnisse liefern, die für die Berichterstattung, Prüfung und langfristige Trendanalyse in professionellen Umgebungen geeignet sind
Sonderfälle
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Dividendenausschüttende Aktien
Das Standardmodell ignoriert Dividenden. Bei Aktien, die bekannte Dividenden zahlen, subtrahieren Sie den Barwert der erwarteten Dividenden vom aktuellen Aktienkurs, bevor Sie die Formel anwenden. Für eine kontinuierliche Dividendenrendite (üblich bei Indexoptionen) ersetzen Sie S durch S·e^(−qT), wobei q die kontinuierliche Dividendenrendite ist – dies ist die Erweiterung von Merton (1973).
Sehr kurzes oder sehr langes Ablaufdatum
Kurz vor Ablauf (Tage) kann das Modell ungenaue Ergebnisse liefern, wenn sich die Aktie in der Nähe des Basispreises befindet – die Wahrscheinlichkeitsfunktion reagiert sehr empfindlich auf kleine Eingabeänderungen. Bei Optionen mit sehr langer Laufzeit (LEAPS, 2+ Jahre) machen Zinsunsicherheit und Mean-Reversion-Tendenzen Annahmen über eine konstante Volatilität zunehmend unrealistisch.
Binäre und Barriereoptionen
Black-Scholes bewertet in seiner Standardform keine Preise für exotische Optionen wie Barrieren (Optionen, die bei einem Preisschwellenwert aktiviert oder deaktiviert werden) oder Binäroptionen (feste Auszahlung, wenn die Bedingung erfüllt ist). Diese erfordern modifizierte Formeln oder numerische Methoden, obwohl in ihrer Ableitung Black-Scholes-Bausteine vorkommen.
Ungefähre Call-Optionspreise – S=100 $, r=4 %, T=0,5 Jahre
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| Schlag (K) | σ=15 % | σ=25 % | σ=35 % | σ=50 % |
|---|---|---|---|---|
| 80 $ (tiefes ITM) | 21,50 $ | 22,60 $ | 24,10 $ | 26,80 $ |
| 95 $ (leichter ITM) | 7,80 $ | 9,90 $ | 12,10 $ | 15,30 $ |
| 100 $ (Geldautomat) | 4,30 $ | 7,10 $ | 9,80 $ | 13,50 $ |
| 105 $ (leichtes OTM) | 2,00 $ | 4,90 $ | 7,60 $ | 11,40 $ |
| 120 $ (tiefes OTM) | 0,10 $ | 1,20 $ | 3,20 $ | 7,00 $ |
Häufig gestellte Fragen
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Was ist implizite Volatilität und warum ist sie wichtig?
Die implizite Volatilität (IV) ist der Volatilitätswert, der, wenn er in die Black-Scholes-Formel eingesetzt wird, den aktuellen Marktpreis der Option ergibt. Es stellt die Konsensprognose des Marktes für zukünftige Preisbewegungen dar. Wenn der IV hoch ist, sind Optionen teuer – der Markt befürchtet große Bewegungen. Wenn die IV niedrig ist, sind die Optionen günstig. Händler vergleichen den aktuellen IV mit der historischen Volatilität, um über- oder unterbewertete Optionen zu finden. Der VIX-Index, oft als „Angstmaßstab“ bezeichnet, ist die implizite Volatilität von S&P 500-Optionen.
Warum kann Black-Scholes den Preis für amerikanische Optionen nicht genau festlegen?
Amerikanische Optionen können jederzeit vor Ablauf ausgeübt werden, wodurch eine Prämie für die frühe Ausübung entsteht, die Black-Scholes mit seiner geschlossenen Formel nicht erfassen kann. Für amerikanische Calls auf nicht-dividendenzahlende Aktien ist eine frühzeitige Ausübung nie optimal (es wäre besser, die Option zu verkaufen), daher ist der Black-Scholes-Call-Preis genau. Für amerikanische Puts und Calls auf Dividendenaktien verwenden Praktiker Binomialbäume (Cox-Ross-Rubinstein-Modell) oder numerische Methoden wie Finite-Differenzen-Verfahren.
Was ist das Volatilitätslächeln und warum tritt es auf?
Wenn Black-Scholes vollkommen recht hätte, wäre die implizite Volatilität über alle Ausübungspreise hinweg konstant. In der Praxis werden Out-of-the-Money-Puts (Crash-Versicherungen) mit höheren impliziten Volatilitäten gehandelt als At-the-Money-Optionen, und Out-of-the-Money-Calls weisen manchmal auch eine erhöhte IV auf. Dieses Muster – Volatility Smile oder Skew genannt – spiegelt die Angst der Marktteilnehmer vor Tail-Events wider, die Black-Scholes unterschätzt. Es trat nach dem Börsencrash von 1987 in den Vordergrund.
Was sagt mir Delta über eine Option?
Delta (∂V/∂S) gibt an, um wie viel sich der Optionspreis bei einer Kursbewegung der Aktie um 1 $ ändert. Ein Delta von 0,60 bedeutet, dass der Optionspreis um 0,60 $ steigt, wenn die Aktie um 1 $ steigt. Delta ist auch eine Annäherung an die Wahrscheinlichkeit, dass die Option im Geld verfällt: Bei einem Call mit einem Delta von 0,60 liegt die Wahrscheinlichkeit, dass die Option im Geld verfällt, bei etwa 60 %. Händler nutzen Delta zur Absicherung: Um „Delta-neutral“ zu sein, halten Sie Aktien im Verhältnis zum Delta der Option, um das Richtungsrisiko auszugleichen.
Wie wirkt sich der Zeitverfall (Theta) auf den Optionswert aus?
Optionen verlieren an Wert, wenn der Ablauf näher rückt – diese Erosion wird als Zeitverfall oder Theta bezeichnet. Wenn alles andere gleich bleibt, verliert eine Option jeden Tag an Wert, einfach weil die Zeit vergeht. Am Geld liegende Optionen weisen in absoluten Zahlen den höchsten Zeitverfall auf; Optionen, die tief im Geld oder weit außerhalb des Geldes liegen, haben ein niedrigeres Theta. Aus diesem Grund erfordert der Kauf von Optionen, dass sich die Aktie ausreichend bewegt, um den anhaltenden Zeitwertverfall auszugleichen – Optionskäufer bekämpfen den Zeitverfall jeden Tag, an dem sie eine Position halten.
Kann Black-Scholes für Kryptowährungsoptionen verwendet werden?
Ja, mit erheblichen Einschränkungen. Black-Scholes kann Krypto-Optionen bewerten, wenn Sie die entsprechende implizite Volatilität eingeben. Bitcoin-Optionen werden auf Deribit und CME gehandelt, wobei der IV oft zwischen 50 und 150 % liegt – viel höher als auf den Aktienmärkten. Die Annahme einer konstanten Volatilität des Modells wird bei Kryptowährungen noch stärker verletzt, da die Volatilität selbst sehr volatil ist (oft als „Volumenvolumen“ bezeichnet). Anspruchsvollere Modelle wie SABR oder Heston, die stochastische Volatilität ermöglichen, eignen sich besser für eine genaue Preisgestaltung von Kryptooptionen.
Wer war Fischer Black und warum ist er kein Nobelpreisträger?
Fischer Black war ein angewandter Mathematiker und Finanzökonom, der das Modell gemeinsam mit Myron Scholes entwickelte. Er arbeitete bei Goldman Sachs und wandte das Modell in der Praxis an. Der Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften wurde 1997 an Scholes und Robert Merton für ihre Arbeiten zur Optionspreismethodik verliehen. Fischer Black war im August 1995 – zwei Jahre vor der Preisverleihung – an Kehlkopfkrebs gestorben. Der Nobelpreis wird nicht posthum verliehen, daher wurde Black ausdrücklich anerkannt, konnte den Preis aber nicht erhalten.
Häufige Fehler vermeiden
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- !Direkte Nutzung der historischen Volatilität – das Modell sollte die implizite Volatilität oder eine zukunftsgerichtete Schätzung verwenden, nicht die Vergangenheit. Die Verwendung aktueller historischer Volumina kann Optionen vor volatilen Ereignissen wie Gewinnen unterbewerten.
- !Einsetzen der Zeit in Tagen ohne Umrechnung in Jahre – T muss in Jahren angegeben werden (Tage/365 oder Tage/252 für Handelstage).
- !Das Ignorieren von Dividenden für Dividenden zahlende Aktien – das Weglassen der Dividendenanpassung führt zu einer erheblichen Überbewertung von Calls und einer Unterbewertung von Puts von Dividendenzahlern in der Nähe des Ex-Datums.
- !Die Modellausgabe wird als „korrekter“ Marktpreis behandelt – das Modell ist ein Maßstab; Echte Optionen werden zu Preisen gehandelt, die durch Angebot, Nachfrage und Liquidität bestimmt werden.
Profi-Tipp
Vergleichen Sie beim Vergleich von Optionen über Ausübungspreise oder Laufzeiten hinweg eher die implizite Volatilität als die Optionspreise. Eine Option mag in US-Dollar günstig erscheinen, in Bezug auf die Volatilität jedoch teuer. Normalisieren Sie immer, indem Sie sich die IV-Oberfläche ansehen – die 3D-Karte der impliziten Volatilität über Strikes und Laufzeiten hinweg –, um Relative-Value-Chancen zu identifizieren.
Wussten Sie?
Das Black-Scholes-Modell ermöglichte die Eröffnung der Chicago Board Options Exchange (CBOE) im April 1973 – buchstäblich im selben Monat, in dem das Papier veröffentlicht wurde. Innerhalb von zehn Jahren explodierte das Optionshandelsvolumen von Tausenden auf Millionen Kontrakte pro Tag. Die Formel war so wirkungsvoll, dass Texas Instruments kurz nach der Veröffentlichung einen speziellen Taschenrechner herausbrachte, der mit Black-Scholes vorprogrammiert war.
Referenzen
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