Der Erwartungswert (EV) ist der wahrscheinlichkeitsgewichtete Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse. Es sagt Ihnen, was Sie im Durchschnitt erwarten können, wenn Sie ein Ereignis mehrmals wiederholen.
Die Formel
E(X) = Σ (probability × value)
Summieren Sie alle (Wahrscheinlichkeit × Ergebnis)-Paare.
Einfaches Beispiel: Coin-Flip-Wette
Ein fairer Münzwurf:
- Kopf: Gewinnen Sie 10 £
- Zahl: 8 £ verlieren
E(X) = (0.5 × 10) + (0.5 × −8)
E(X) = 5 + (−4) = £1
Interpretation: Im Durchschnitt gewinnen Sie 1 £ pro Spiel. Dies ist eine positive EV-Wette, die es wert ist, wiederholt in Angriff genommen zu werden.
Beispiel: Versicherung
Sollten Sie eine Telefonversicherung im Wert von 200 £/Jahr abschließen?
Annehmen:
- 5 % Chance auf einen Telefonschaden (Kosten: 400 £ für die Reparatur)
- 95 % Chance, dass kein Schaden entsteht
Erwartete Kosten ohne Versicherung:
E(cost) = (0.05 × £400) + (0.95 × £0) = £20
Versicherungskosten: £200
Die Versicherung kostet 200 £ für einen erwarteten Schaden von 20 £ – Sie zahlen das Zehnfache der erwarteten Kosten. Mathematisch gesehen ist eine Versicherung eine negative EV-Entscheidung. Allerdings kann die Risikominderung die Prämie wert sein, wenn Sie sich den Verlust von 400 £ nicht leisten können.
Glücksspiel: Der Hausvorteil
Ein europäischer Roulettekessel (37 Zahlen, 0–36). Sie setzen 1 £ auf eine einzelne Zahl:
- Gewinn: 1 Chance von 37, Auszahlung = 36 £ (35:1 + Ihr Einsatz)
- Verlieren: 36 von 37 Chancen
E(X) = (1/37 × 36) + (36/37 × −1)
E(X) = 0.973 − 0.973 = −0.027
Erwarteter Verlust = 0,027 £ pro 1 £ Wette = 2,7 % Hausvorteil.
Über 1.000 Drehungen zu je 1 £:
Expected loss = 1,000 × 0.027 = £27
Geschäftliche Entscheidungsfindung
Ein Unternehmen entscheidet, ob es ein Produkt auf den Markt bringt:
| Ergebnis | Wahrscheinlichkeit | Gewinn/Verlust |
|---|---|---|
| Starker Erfolg | 20% | +500.000 £ |
| Mäßiger Erfolg | 40% | +100.000 £ |
| Die Gewinnzone erreichen | 25% | 0 £ |
| Versagen | 15% | −200.000 £ |
EV = (0.2 × 500,000) + (0.4 × 100,000) + (0.25 × 0) + (0.15 × −200,000)
EV = 100,000 + 40,000 + 0 − 30,000 = £110,000
Positiver EV → mit dem Projekt fortfahren.
Einschränkungen des erwarteten Werts
- Varianz ist wichtig: Eine 50-prozentige Gewinnchance von 200 £ und eine bestimmte 100 £ haben den gleichen EV, aber sehr unterschiedliche Risikoprofile
- Einzelereignisse: EV garantiert nur durchschnittliche Ergebnisse über viele Wiederholungen hinweg
- Nützlichkeit vs. Geld: Menschen bewerten Geld nichtlinear (Risikoaversion). 1.000 £ zu verlieren tut mehr weh als 1.000 £ zu gewinnen hilft.
EV im Poker
Beim professionellen Poker müssen für jede Entscheidung die Pot Odds und der erwartete Wert berechnet werden. Wenn eine Wette einen positiven EV hat, sollte sie unabhängig vom kurzfristigen Ergebnis abgeschlossen werden.
EV = (probability of winning × pot size) − (probability of losing × bet size)