Wenn Sie einen Kredit aufnehmen, gibt Ihnen der Kreditgeber den Zinssatz im Voraus bekannt. Aber manchmal möchten Sie rückwärts arbeiten – aus dem Zahlungsbetrag und der Laufzeit den impliziten Zinssatz ermitteln. Dies ist nützlich, um Kreditangebote zu vergleichen, die effektiven Jahreszinsen von Kreditkarten zu verstehen oder zu prüfen, ob die Finanzierung eines Autohändlers wettbewerbsfähig ist.
Einfaches Interesse: Den Kurs finden
Für einfache Zinsen (wird bei kurzfristigen Krediten und einigen Privatkrediten verwendet):
Interest rate = (Interest / Principal) / Time (years) × 100
Oder neu geordnet:
r = I / (P × t)
Beispiel: Sie haben 5.000 £ geliehen und nach einem Jahr 5.600 £ zurückgezahlt.
Interest = £5,600 − £5,000 = £600
Rate = £600 / (£5,000 × 1) = 0.12 = 12%
Beispiel: Sie haben 3.000 £ geliehen und nach 18 Monaten (1,5 Jahren) 3.450 £ zurückgezahlt.
Interest = £450
Rate = £450 / (£3,000 × 1.5) = 0.10 = 10%
Zinseszins: Den Zinssatz finden
Für Zinseszinsen (verwendet bei Hypotheken, Ersparnissen, Investitionen):
A = P(1 + r)ⁿ
Auflösen nach r:
r = (A/P)^(1/n) − 1
Beispiel: Sie haben 10.000 £ investiert und der Betrag ist innerhalb von 8 Jahren auf 14.693 £ angewachsen.
r = (14,693 / 10,000)^(1/8) − 1
= (1.4693)^(0.125) − 1
= 1.0495 − 1
= 0.0495 ≈ 5%
Die jährliche durchschnittliche Wachstumsrate betrug etwa 5 %.
Monatliche Kreditzahlungen: Den Zinssatz ermitteln
Für Standardtilgungskredite (Hypothek, Autokredit, Privatkredit) lautet die monatliche Zahlungsformel:
M = P × [r(1+r)ⁿ] / [(1+r)ⁿ−1]
Wo:
- M = monatliche Zahlung
- P = Darlehenskapital
- r = monatlicher Zinssatz (Jahreszins ÷ 12)
- n = Anzahl der Zahlungen
Um den Zinssatz aus einer bekannten Zahlung zu ermitteln, ist eine Iteration (Versuch und Irrtum) oder ein Finanzrechner erforderlich.
Praktischer Ansatz: Verwenden Sie den APR-Rechner und arbeiten Sie rückwärts.
Beispiel: Ihnen wird ein Autokredit angeboten. Kapital: 15.000 £, monatliche Zahlung: 285 £, Laufzeit: 60 Monate (5 Jahre).
Versuchen Sie es mit einer Jahresrate von 5 % → Monatsrate = 0,4167 %:
M = 15,000 × [0.004167(1.004167)⁶⁰] / [(1.004167)⁶⁰ − 1]
= 15,000 × [0.004167 × 1.2834] / [0.2834]
= 15,000 × 0.005347 / 0.2834
= 15,000 × 0.01887
= £283/month
Das sind knapp 285 £. Versuchen Sie es mit 5,1 % ... dieser iterative Prozess konvergiert mit der wahren Rate.
Anhand der Faustregel: Für grobe Schätzungen beträgt die prozentuale Rate ≈ 24 × [(M × n − P) / (P × n)].
= 24 × [(285 × 60 − 15,000) / (15,000 × 60)]
= 24 × [(17,100 − 15,000) / 900,000]
= 24 × [2,100 / 900,000]
= 24 × 0.00233
= 5.6%
APR vs. Nominalzins
Nomineller Zinssatz: Der angegebene jährliche Zinssatz ohne Berücksichtigung der Aufzinsungshäufigkeit.
APR (Annual Percentage Rate): Beinhaltet den Effekt der Aufzinsung – bessere Vergleichbarkeit zwischen den Produkten.
APR = (1 + nominal rate/n)ⁿ − 1
Wobei n = Zinsperioden pro Jahr.
Beispiel: Ein Sparkonto zahlt 4,8 % nominal, monatlich aufgezinst.
APR = (1 + 0.048/12)¹² − 1
= (1.004)¹² − 1
= 1.04906 − 1
= 4.91%
Der effektive Jahreszins beträgt 4,91 % und liegt damit etwas über den nominalen 4,8 %.
Kreditkarten: So funktioniert der Tarif
Bei Kreditkarten wird ein effektiver Jahreszins angegeben, die Zinsen werden jedoch tatsächlich täglich berechnet:
Daily rate = APR / 365
Daily interest = Balance × daily rate
Monthly interest = Sum of daily interest charges
Beispiel: Guthaben von 2.000 £ auf einer Karte mit 22,9 % effektivem Jahreszins:
Daily rate = 22.9% / 365 = 0.0627%
Daily interest = £2,000 × 0.000627 = £1.25/day
Monthly interest ≈ £1.25 × 30 = £37.60
Wenn Sie nur die Mindestzahlung leisten und diese nicht abbezahlen, zahlen Sie im Laufe eines Jahres etwa 451 £ Zinsen auf diesen Restbetrag von 2.000 £.
Kurzreferenzformeln
| Situation | Formel |
|---|---|
| Einfacher Zinssatz | r = I / (P × t) |
| Zusammengesetzter Jahreszins | r = (A/P)^(1/n) − 1 |
| Täglich bis April | APR = Tagessatz × 365 |
| Monatlich bis April | effektiver Jahreszins = (1 + Monatsrate)¹² − 1 |
| APR bis monatlich | monatlich = (1 + effektiver Jahreszins)^(1/12) − 1 |