Ein Z-Score (oder Standard-Score) misst, wie viele Standardabweichungen ein Datenpunkt vom Mittelwert hat. Es wandelt Rohwerte in eine standardisierte Skala um, die einen Vergleich zwischen verschiedenen Datensätzen ermöglicht.
Die Z-Score-Formel
z = (x − μ) ÷ σ
Wo:
- x = einzelner Datenpunkt
- μ (mu) = Bevölkerungsmittelwert
- σ (Sigma) = Populationsstandardabweichung
Ersetzen Sie für eine Stichprobe μ durch x̄ (Stichprobenmittelwert) und σ durch s (Stichproben-SD).
Ausgearbeitetes Beispiel
Ein Student erreicht in einer Prüfung 72 Punkte. Der Klassenmittelwert beträgt 65 und die Standardabweichung beträgt 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Dieser Schüler erzielte 0,875 Standardabweichungen über dem Mittelwert.
Z-Scores interpretieren
| Z-Score | Interpretation | Perzentil (ungefähr) |
|---|---|---|
| −3 | Extrem unterdurchschnittlich | 0.1% |
| −2 | Weit unter dem Durchschnitt | 2.3% |
| −1 | Unterdurchschnittlich | 15.9% |
| 0 | Im Mittel | 50.0% |
| +1 | Überdurchschnittlich | 84.1% |
| +2 | Weit über dem Durchschnitt | 97.7% |
| +3 | Extrem überdurchschnittlich | 99.9% |
Die 68-95-99,7-Regel
Bei einer Normalverteilung:
- 68 % der Daten liegen innerhalb einer Standardabweichung von ±1
- 95 % innerhalb von ±2 Standardabweichungen
- 99,7 % innerhalb von ±3 Standardabweichungen
Z-Score in Perzentil umwandeln
Sobald Sie einen Z-Score haben, schauen Sie in der Standard-Normaltabelle (Z-Tabelle) nach oder verwenden Sie:
Percentile = Φ(z) × 100
Wobei Φ die kumulative Normalverteilungsfunktion ist.
Beispiel: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3. Perzentil
Anwendungen von Z-Scores
Finanzen:
- Der Altman Z-Score prognostiziert das Insolvenzrisiko
- Wird im Risikomanagement zur Identifizierung von Ausreißern verwendet
Gesundheitspflege:
- BMI für Alters-Z-Scores für Kinder
- T-Scores für die Knochendichte (DXA) sind eine Form des Z-Scores
Qualitätskontrolle:
- Six Sigma verwendet Z-Scores zur Messung der Prozessfähigkeit
- Ein „6-Sigma“-Prozess hat einen Z-Score von 6 (3,4 Fehler pro Million)
Standardisierung der Testergebnisse:
- IQ-Werte: Mittelwert 100, SD 15 (ein Z-Wert von +2 → IQ 130)
- SAT-Werte: Mittelwert 1000, SD 200 (skaliert anhand der Z-Werte)
Vergleich der Ergebnisse verschiedener Tests
Beispiel: Alice erzielte bei Test A 80 Punkte (Mittelwert 70, SD 10). Bob erzielte bei Test B 55 Punkte (Mittelwert 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Trotz der niedrigeren Rohpunktzahl schnitt Bob im Vergleich zu seinen Kollegen besser ab.