Ο «μέσος όρος» είναι μια από τις πιο χρησιμοποιούμενες και πιο κακοχρησιμοποιημένες λέξεις στα μαθηματικά. Στην καθημερινή γλώσσα σημαίνει συνήθως ένα συγκεκριμένο πράγμα — αθροίστε τους αριθμούς και διαιρέστε. Αλλά στις στατιστικές υπάρχουν τρεις διαφορετικοί τύποι μέσου όρου, ο καθένας κατάλληλος για διαφορετικές καταστάσεις. Η επιλογή του λάθος οδηγεί σε παραπλανητικά συμπεράσματα.
Οι τρεις τύποι μέσου όρου
1. Μέσος όρος (Αριθμητικός Μέσος όρος)
Ο μέσος όρος είναι αυτό που εννοούν οι περισσότεροι με τον όρο "μέσος όρος". Προσθέστε όλες τις τιμές και διαιρέστε με πόσες είναι.
Mean = Sum of all values / Number of values
Παράδειγμα: Βαθμολογίες τεστ: 72, 85, 91, 68, 77, 95, 82
Άθροισμα = 72 + 85 + 91 + 68 + 77 + 95 + 82 = 570 Μέτρηση = 7 **Μέσος όρος = 570 / 7 = 81,4 **
Πότε να το χρησιμοποιήσετε: Όταν τα δεδομένα είναι κατά προσέγγιση συμμετρικά χωρίς ακραίες ακραίες τιμές. Λειτουργεί καλά για ύψη, βαθμολογίες δοκιμών, θερμοκρασίες.
Πότε ΔΕΝ πρέπει να το χρησιμοποιείτε: Όταν υπάρχουν ακραίες τιμές. Ένας δισεκατομμυριούχος σε ένα δωμάτιο με μέσο εισόδημα κάνει το μέσο εισόδημα εξαιρετικά παραπλανητικό.
2. Διάμεση τιμή (Μεσαία τιμή)
Η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή όταν τα δεδομένα ταξινομούνται με τη σειρά. Οι μισές τιμές είναι πάνω από αυτό, οι μισές κάτω.
Για περιττό αριθμό τιμών: ταξινομήστε και πάρτε τη μεσαία. Για ζυγό αριθμό: ταξινομήστε και λάβετε το μέσο όρο των δύο μεσαίων τιμών.
Παράδειγμα (μονός): 72, 68, 85, 91, 77, 95, 82 Ταξινόμηση: 68, 72, 77, 82, 85, 91, 95 Διάμεσος = 82
Παράδειγμα (ζυγό): 68, 72, 77, 82, 85, 91 Μέση δύο: 77 και 82 Διάμεσος = (77 + 82) / 2 = 79,5
Πότε να το χρησιμοποιήσετε: Όταν τα δεδομένα έχουν ακραίες τιμές ή είναι λοξά. Οι τιμές των κατοικιών, οι μισθοί και οι κατανομές εισοδήματος χρησιμοποιούν πάντα τη διάμεση τιμή, επειδή μια χούφτα ακραίων αξιών θα στρεβλώνουν τη μέση τιμή.
3. Λειτουργία (Πιο συχνή τιμή)
Η λειτουργία είναι η τιμή που εμφανίζεται πιο συχνά. Ένα σύνολο δεδομένων μπορεί να έχει έναν τρόπο (μονοτροπικό), δύο (διτροπικό) ή περισσότερες (πολυτροπικές). Εάν δεν επαναλαμβάνεται καμία τιμή, δεν υπάρχει λειτουργία.
Παράδειγμα: Μεγέθη παπουτσιών που πωλούνται σε μια εβδομάδα: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10 Λειτουργία = 8 (εμφανίζεται 3 φορές)
Πότε να το χρησιμοποιήσετε: Κατηγορικά δεδομένα, απαντήσεις έρευνας ή πότε χρειάζεστε την πιο κοινή τιμή αντί για ένα μαθηματικό κέντρο. Ένας κατασκευαστής παπουτσιών ενδιαφέρεται για τη λειτουργία, όχι για το μέσο μέγεθος παπουτσιού.
Μέσος σταθμισμένος
Όταν ορισμένες τιμές μετρούν περισσότερο από άλλες, χρησιμοποιήστε τη σταθμισμένη μέση τιμή:
Weighted mean = Σ(value × weight) / Σ(weights)
Παράδειγμα: Βαθμοί πανεπιστημιακής ενότητας με διαφορετική στάθμιση πίστωσης:
| Μονάδα μέτρησης | Βαθμός | Πιστώσεις |
|---|---|---|
| Μαθηματικά | 72 | 30 |
| αγγλικός | 85 | 15 |
| Ιστορία | 68 | 15 |
| Επιστήμη | 91 | 40 |
Σταθμισμένη μέση τιμή = (72×30 + 85×15 + 68×15 + 91×40) / (30+15+15+40) = (2.160 + 1.275 + 1.020 + 3.640) / 100 = 8.095 / 100 **= 80,95 **
Αυτό είναι διαφορετικό από τον απλό μέσο όρο του 79,0 — η υψηλότερη στάθμιση πίστωσης της ενότητας Science ανεβάζει τον μέσο όρο.
Οι υπολογισμοί ΣΔΣ, οι αποδόσεις του επενδυτικού χαρτοφυλακίου και η σήμανση εξετάσεων χρησιμοποιούν σταθμισμένα μέσα.
Γεωμετρικός μέσος όρος
Για ποσότητες που συνδυάζονται ή πολλαπλασιάζονται (ρυθμοί ανάπτυξης, αποδόσεις επένδυσης), χρησιμοποιήστε τον γεωμετρικό μέσο όρο:
Geometric mean = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n)
Παράδειγμα: Ετήσιες αποδόσεις επένδυσης +50%, −30%, +20%
Απλή μέση τιμή = (+50 − 30 + 20) / 3 = +13,3% — παραπλανητικά αισιόδοξη
Γεωμετρικός μέσος όρος = (1,50 × 0,70 × 1,20)^(1/3) − 1 = (1,26)^(1/3) − 1 = 1,0797 − 1 = +7,97% ετησίως
Αυτό αντανακλά την πραγματική σύνθεση: £1.000 → £1.500 → £1.050 → £1.260, δίνοντας 7,97% ετήσια ανάπτυξη — όχι 13,3%.
Ποιο μέσο όρο πρέπει να χρησιμοποιήσετε;
| Κατάσταση | Ο καλύτερος μέσος όρος |
|---|---|
| Συμμετρικά δεδομένα, χωρίς ακραίες τιμές | Μέσο |
| Παρουσιάζονται λοξά δεδομένα ή ακραίες τιμές | Διάμεσος |
| Η πιο κοινή τιμή που απαιτείται | Τρόπος |
| Οι αξίες έχουν διαφορετική σημασία | Ζυγισμένη μέση |
| Ποσοστά, αναλογίες ή συνθέσεις | Γεωμετρικός μέσος όρος |
| Συγκρίσεις μισθών / εισοδημάτων | Διάμεσος |
| Στατιστικά στοιχεία για τις τιμές των κατοικιών | Διάμεσος |
| Μέσοι όροι αθλητικών κτυπημάτων | Μέσος όρος (ή συγκεκριμένος τύπος) |
| Απόδοση επένδυσης με την πάροδο των ετών | Γεωμετρικός μέσος όρος |
Συνήθη λάθη
Το να υποθέσουμε ότι "μέσος όρος" σημαίνει πάντα μέτριος. Όταν βλέπετε "μέσο μισθό" σε ρεπορτάζ ειδήσεων, ρωτήστε αν είναι κακός ή μέσος. Ο μέσος όρος είναι συνήθως 20-30% υψηλότερος από τον διάμεσο λόγω του ότι οι υψηλές αποδοχές παραμορφώνουν τα δεδομένα.
Μέσος όρος ποσοστών χωρίς στάθμιση. Εάν το χαρτοφυλάκιό σας έχει 1.000 £ στο Αμοιβαίο Κεφάλαιο Α (+10%) και 9.000 £ στο Αμοιβαίο Κεφάλαιο Β (+2%), η μέση απόδοση ΔΕΝ είναι 6%. Είναι (100 £ + 180 £) / 10.000 £ = 2,8%.
Παράβλεψη της κατανομής. Ο μέσος όρος μπορεί να είναι ο ίδιος για πολύ διαφορετικά σύνολα δεδομένων. Μια τάξη όπου όλοι σημειώνουν 70% και μια τάξη όπου η μισή βαθμολογία 40% και η μισή βαθμολογία 100% έχουν τον ίδιο μέσο όρο — αλλά πολύ διαφορετικά μαθησιακά αποτελέσματα.
Χρησιμοποιήστε τον Μέσο όρο, Διάμεσος, Υπολογιστής λειτουργίας και Weighted Average Calculator για να υπολογίσετε κάθε τύπο μέσου όρου από τα δικά σας δεδομένα.