Μια βαθμολογία z (ή τυπική βαθμολογία) μετρά πόσες τυπικές αποκλίσεις είναι ένα σημείο δεδομένων από τη μέση τιμή. Μετατρέπει τις ακατέργαστες βαθμολογίες σε μια τυποποιημένη κλίμακα που επιτρέπει τη σύγκριση μεταξύ διαφορετικών συνόλων δεδομένων.
Η φόρμουλα Z-Score
z = (x − μ) ÷ σ
Οπου:
- x = μεμονωμένο σημείο δεδομένων
- μ (mu) = μέσος όρος πληθυσμού
- σ (σίγμα) = τυπική απόκλιση πληθυσμού
Για δείγμα, αντικαταστήστε το μ με x̄ (μέσος όρος δείγματος) και σ με s (δείγμα SD).
Παράδειγμα εργασίας
Ένας μαθητής βαθμολογείται με 72 σε μια εξέταση. Ο μέσος όρος της κατηγορίας είναι 65 και η τυπική απόκλιση είναι 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Αυτός ο μαθητής σημείωσε 0,875 τυπικές αποκλίσεις πάνω από τον μέσο όρο.
Ερμηνεία Z-Scores
| Z-score | Ερμηνεία | Ποσοστό εκατοστημόριο (περίπου) |
|---|---|---|
| −3 | Εξαιρετικά κάτω από το μέσο όρο | 0.1% |
| −2 | Πολύ κάτω από το μέσο όρο | 2.3% |
| −1 | Κάτω από το μέσο όρο | 15.9% |
| 0 | Στο μέσο | 50.0% |
| +1 | Πάνω από το μέσο όρο | 84.1% |
| +2 | Πολύ πάνω από το μέσο όρο | 97.7% |
| +3 | Εξαιρετικά πάνω από το μέσο όρο | 99.9% |
Ο κανόνας 68-95-99,7
Σε κανονική κατανομή:
- Το 68% των δεδομένων εμπίπτει στην τυπική απόκλιση ±1
- 95% εντός ±2 τυπικών αποκλίσεων
- 99,7% εντός ±3 τυπικών αποκλίσεων
Μετατροπή Z-Score σε εκατοστιαία θέση
Μόλις έχετε ένα z-score, αναζητήστε τον κανονικό κανονικό πίνακα (Z-πίνακας) ή χρησιμοποιήστε:
Percentile = Φ(z) × 100
Όπου Φ είναι η αθροιστική συνάρτηση κανονικής κατανομής.
Παράδειγμα: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3ο εκατοστημόριο
Εφαρμογές Z-Scores
Οικονομικά:
- Το Altman Z-Score προβλέπει τον κίνδυνο χρεοκοπίας
- Χρησιμοποιείται στη διαχείριση κινδύνου για τον εντοπισμό ακραίων τιμών
Υγειονομική περίθαλψη:
- ΔΜΣ για την ηλικία z-scores για παιδιά
- Οι βαθμολογίες T οστικής πυκνότητας (DXA) είναι μια μορφή z-score
Ποιοτικός έλεγχος:
- Το Six Sigma χρησιμοποιεί z-scores για τη μέτρηση της ικανότητας διαδικασίας
- Μια διαδικασία "6-σίγμα" έχει βαθμολογία z 6 (3,4 ελαττώματα ανά εκατομμύριο)
Τυποποιημένες βαθμολογίες τεστ:
- Βαθμολογίες IQ: μέσος όρος 100, SD 15 (βαθμολογία z +2 → IQ 130)
- Βαθμολογίες SAT: μέσος όρος 1000, SD 200 (κλιμακούμενη από τις βαθμολογίες z)
Σύγκριση βαθμολογιών σε διαφορετικά τεστ
Παράδειγμα: Η Αλίκη σημείωσε 80 στο τεστ Α (μέσος όρος 70, SD 10). Ο Μπομπ σημείωσε 55 στο τεστ Β (μέσος όρος 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Παρά το χαμηλότερο σκορ, ο Bob είχε καλύτερη απόδοση σε σχέση με τους συνομηλίκους του.