Η τυπική απόκλιση είναι το πιο ευρέως χρησιμοποιούμενο μέτρο διασποράς στα στατιστικά στοιχεία. Σας λέει πόσο διασκορπισμένες είναι οι τιμές γύρω από τη μέση τιμή. Αυτός ο οδηγός το εξηγεί από τις πρώτες αρχές με επεξεργασμένα παραδείγματα.
Τι σας λέει η τυπική απόκλιση
Ο μέσος όρος σας λέει το κέντρο ενός συνόλου δεδομένων. Η τυπική απόκλιση σάς λέει πόσο αποκλίνουν συνήθως οι τιμές από αυτό το κέντρο.
Χαμηλή τυπική απόκλιση → οι τιμές συγκεντρώνονται στενά γύρω από τη μέση τιμή Υψηλή τυπική απόκλιση → οι τιμές διαδίδονται ευρέως από τη μέση τιμή
Δύο τάξεις εξετάσεων και οι δύο κατά μέσο όρο 70%, αλλά:
- Κατηγορία Α: βαθμολογίες 68, 69, 70, 71, 72 — SD ≈ 1,4 (πολύ συνεπής)
- Κατηγορία Β: βαθμολογίες 40, 55, 70, 85, 100 — SD ≈ 22,4 (πολύ μεταβλητή)
Ίδιος μέσος όρος, πολύ διαφορετικές διανομές.
Η Φόρμουλα
Υπάρχουν δύο εκδόσεις ανάλογα με το αν έχετε τον πλήρη πληθυσμό ή ένα δείγμα.
Τυπική απόκλιση πληθυσμού (σ)
Χρησιμοποιήστε το όταν έχετε δεδομένα για κάθε μέλος της ομάδας.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
Δείγμα τυπικής απόκλισης (-ες)
Χρησιμοποιήστε όταν τα δεδομένα σας είναι δείγμα από μεγαλύτερο πληθυσμό (η πιο συνηθισμένη περίπτωση).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
Ο παρονομαστής είναι n − 1 (όχι n) για να διορθωθεί η μεροληψία που προκύπτει από την εκτίμηση μιας παραμέτρου πληθυσμού από ένα δείγμα. Αυτό ονομάζεται διόρθωση του Bessel.
Υπολογισμός βήμα προς βήμα
Σύνολο δεδομένων: Βαθμολογίες τεστ για 6 μαθητές: 72, 85, 68, 91, 74, 80
Βήμα 1: Βρείτε τη μέση τιμή
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
Βήμα 2: Βρείτε κάθε απόκλιση από τη μέση
| Σκορ | Απόκλιση (x − x̄) | Τετράγωνη απόκλιση |
|---|---|---|
| 72 | −6,33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −10.33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | −4,33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
Βήμα 3: Αθροίστε τις αποκλίσεις στο τετράγωνο
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
Βήμα 4: Διαιρέστε με n − 1 (δείγμα)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
Βήμα 5: Πάρτε την τετραγωνική ρίζα
s = √(74.67) = 8.64
Η τυπική απόκλιση είναι 8,64 βαθμοί. Μια τυπική βαθμολογία μαθητή απέχει περίπου 8-9 βαθμούς από τον μέσο όρο της τάξης.
Ο κανόνας 68-95-99,7
Για κανονικά κατανεμημένα δεδομένα (καμπύλη καμπάνας), η τυπική απόκλιση έχει μια προβλέψιμη σχέση με το spread:
- Το 68% των τιμών εμπίπτει εντός 1 SD του μέσου όρου
- Το 95% των τιμών εμπίπτει εντός 2 SD του μέσου όρου
- Το 99,7% των τιμών εμπίπτει εντός 3 SD του μέσου όρου
Εφαρμόζεται στο παράδειγμά μας (μέσος όρος = 78,33, SD = 8,64):
- 68% των βαθμολογιών: 78,33 ± 8,64 → 69,7 έως 86,97
- 95% των βαθμολογιών: 78,33 ± 17,28 → 61,05 έως 95,61
- 99,7% των βαθμολογιών: 78,33 ± 25,92 → 52,41 έως 104,25
Διακύμανση έναντι Τυπικής Απόκλισης
Η διακύμανση είναι η τυπική απόκλιση στο τετράγωνο: s² = 74,67 στο παράδειγμά μας.
Γιατί να χρησιμοποιήσετε τυπική απόκλιση αντί για διακύμανση;
- Η τυπική απόκλιση είναι στις ίδιες μονάδες με τα δεδομένα σας (πόντους, δολάρια, μέτρα)
- Η διακύμανση είναι σε τετράγωνες μονάδες — πιο δύσκολο να ερμηνευτεί πρακτικά
- "Η μέση βαθμολογία απόκλιση κατά 8,64 μονάδες" έχει νόημα. "Η διακύμανση ήταν 74,67 μονάδες²" δεν είναι
Χρήσεις σε πραγματικό κόσμο
Οικονομικά: Μια μετοχή με ημερήσιες αποδόσεις κατά μέσο όρο 0,05% και SD 1,2% είναι πολύ πιο ριψοκίνδυνη από μια μετοχή με την ίδια μέση απόδοση και SD 0,3%. Η τυπική απόκλιση είναι το θεμέλιο της μέτρησης της μεταβλητότητας.
Κατασκευή: Ένα εργοστάσιο που παράγει μπουλόνια με διάμετρο στόχου 10 mm και SD 0,02 mm είναι πολύ πιο συνεπές από ένα εργοστάσιο με SD 0,5 mm. Ο ποιοτικός έλεγχος βασίζεται στο SD.
Ιατρική: Οι κλινικές δοκιμές αναφέρουν τη ΣΔ παράλληλα με τα μέσα που δείχνουν πόσο σταθερά λειτούργησε μια θεραπεία σε όλους τους ασθενείς.
Καιρός: Η "Μέση θερμοκρασία 18°C με SD 4°C" σας λέει πολύ περισσότερα από τον μέσο όρο μόνο — ξέρετε τι να πακετάρετε.
Z-Scores
Μια βαθμολογία z μετατρέπει οποιαδήποτε τιμή σε μονάδες τυπικής απόκλισης, επιτρέποντας τη σύγκριση μεταξύ διαφορετικών συνόλων δεδομένων:
z = /x - x̄s
Ένας μαθητής που σκοράρει 91 στο παράδειγμά μας:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
Αυτή η βαθμολογία είναι 1,47 τυπικές αποκλίσεις πάνω από το μέσο όρο — καλύτερο από περίπου το 93% της κατηγορίας.
Υπολογίστε την τυπική απόκλιση τώρα
Η αριθμομηχανή στατιστικών μας υπολογίζει την τυπική απόκλιση, τη διακύμανση, τη μέση, τη διάμεσο, τη λειτουργία και πολλά άλλα από οποιοδήποτε σύνολο δεδομένων εισάγετε. Επικολλήστε τους αριθμούς σας και λάβετε πλήρη αποτελέσματα αμέσως.