Mikä on Black-Scholes Option Pricing?
▾
Black-Scholes-malli laskee eurooppalaisen vaihtoehdon käyvän hinnan – sopimuksen, joka antaa sinulle oikeuden, mutta ei velvollisuutta, ostaa (soittaa) tai myydä (antaa) osakkeen kiinteään hintaan tiettynä tulevana päivänä. Ennen vuotta 1973 optiot hinnoiteltiin intuition ja neuvottelujen perusteella. Fischer Black ja Myron Scholes muuttivat kaiken yhdellä yhtälöllä, joka käsitteli optioiden hinnoittelua matemaattisena varmuutena viidellä havaittavalla syötteellä. Robert Mertonin parannusten ohella tämä työ ansaitsi Scholesille ja Mertonille vuoden 1997 taloustieteen Nobelin ja synnytti nykyaikaiset johdannaismarkkinat, joiden arvo on satoja biljoonia dollareita. Malli olettaa, että osakekurssi seuraa satunnaista kävelyä jatkuvalla volatiliteetilla, että osinkoja ei ole ja että voit käydä kauppaa jatkuvasti ilman transaktiokuluja. Käytännössä kauppiaat käyttävät sitä vertailukohtana - he syöttävät nykyiset markkinahinnat ratkaistakseen "implisiittisen volatiliteetin" eli markkinoiden konsensusennusteen siitä, kuinka paljon osake liikkuu. Jokainen optiokauppias tarkkailee implisiittistä volatiliteettia, koska se kertoo, ovatko optiot halpoja vai kalliita verrattuna historiaan. Jos oletettu volatiliteetti on korkea, optiot maksavat enemmän; jos ne ovat alhaiset, ne maksavat vähemmän. Mallilla on tunnetut rajoitukset - se aliarvioi äärimmäisten markkinoiden liikkeiden todennäköisyyden (fat tails) ja hajoaa amerikkalaistyylisiin optioihin, jotka voidaan käyttää aikaisin - mutta se on edelleen yleinen lähtökohta kaikille optioiden hinnoittelulle ja riskienhallinnalle.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Kaava
▾
Puheluhinta = S·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂)
Sijoitushinta = K·e^(−rT)·N(−d₂) − S·N(−d₁)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] / (σ·√T)
d₂ = d₁ − σ·√T
N(x) = standardi normaalijakauman kumulatiivinen funktioMuuttujan selitys
▾
| Symboli | Nimi | Yksikkö | Kuvaus |
|---|---|---|---|
| S | Tämänhetkinen osakkeen hinta | currency | Nykyinen osakekurssin arvo, joka toimii kriittisenä syöttöparametrina black scholes -laskennassa ja vaikuttaa suoraan lasketun tulosteen suuruuteen ja tarkkuuteen |
| K | Alkuhinta | currency | Lottohinnan arvo, joka toimii kriittisenä syöttöparametrina black scholes -laskennassa ja vaikuttaa suoraan lasketun tulosteen suuruuteen ja tarkkuuteen |
| r | Riskitön korko | % per year | Riskitön korkoarvo, joka toimii kriittisenä syöttöparametrina black scholes -laskennassa ja vaikuttaa suoraan lasketun tulosteen suuruuteen ja tarkkuuteen |
| T | Aika päättyä | years | Option voimassaolon päättymiseen jäljellä oleva aika vuosina ilmaistuna (esim. 90 päivää = 0,247 vuotta) |
| σ | Volatiliteetti | % per year | Osakkeen log-tuoton vuositasoinen keskihajonta; mallin kriittinen ja ainoa havaitsematon syöte |
Kuinka Black-Scholes Option Pricing
▾
- 1Kerää viisi syötettä: nykyinen osakekurssi (S), toteutushinta (K), riskitön korko (r), vanhenemisaika vuosina (T) ja odotettu volatiliteetti (σ).
- 2Laske d₁: tämä kuvaa kuinka pitkällä rahassa optio on, ajan ja volatiliteetin mukaan.
- 3Laske d₂ = d₁ − σ√T: tämä d₁ on säädetty alaspäin osakkeen polun epävarmuudella.
- 4Etsi N(d₁) ja N(d2) normaalista normaalijakaumasta – nämä edustavat todennäköisyyksiä, että optio vanhenee rahassa.
- 5Puhelu: kerro osakekurssi N(d₁):llä ja vähennä sitten alennettu hinta kerrottuna N(d2:lla).
- 6Putki: käytä put-call-pariteettia tai suoraputkea. Laita = Kutsu − S + K·e^(−rT).
- 7Vertaa mallin hintaa markkinahintaan; Jos ne eroavat toisistaan, ero selittyy erilaisella volatiliteettioletuksella – että implisiittinen volatiliteetti on markkinoiden todellinen signaali.
Ratkaistut esimerkit
▾
At-the-money-optiot (S=K) ovat yleisimmin vaihdettuja; niiden hinta on herkin volatiliteetin muutoksille.
Kun osakkeet ovat täsmälleen toteutushinnalla, optiolla ei ole sisäistä arvoa - kaikki 10,45 dollaria ovat aika-arvoa. Noin puolet palkkiosta tulee osakkeen mahdollisesta nousta yli 100 dollariin, ja korkokomponentti (rahan aika-arvo) muodostaa pienen alennuksen lakosta.
Korkea volatiliteetti infloi rahanpäältä loppujen optioiden hintoja dramaattisesti – osakkeella on 6 kuukautta aikaa nousta 25 %:iin.
Huolimatta siitä, että optiolla on 20 % rahattomuutta, sillä on merkittävä arvo korkean implisiittisen volatiliteetin (40 %) ja jäljellä olevan 6 kuukauden vuoksi. 40 % vuotuinen volatiliteetti tarkoittaa, että noin ± 25 % siirrot kuuden kuukauden aikana ovat yhden keskihajonnan sisällä, mikä tekee noususta 100 dollariin uskottavan.
Deep-in-the-money-panosten hinta on lähellä sisäistä arvoa (K−S=30 dollaria) pienellä aikapreemiolla.
Putki on lähes täyden 30 dollarin sisäisen arvon arvoinen, koska se on toistaiseksi rahassa. Pieni alennus 30 dollarista heijastaa odottamisesta ansaittua riskitöntä korkoa (voit vaihtoehtoisesti shorttaa osakkeen ja sijoittaa 100 dollaria 3 prosenttiin). Aikapreemio on pieni, koska ei ole juurikaan epävarmuutta siitä, onko tämä myynti vanhentunut rahassa.
Sijoittajat käyttävät Black-Scholesia käänteisesti poimiakseen markkinoiden volatiliteettiennusteen optioiden hinnoista.
Kun mallin hinta 20 prosentin volatiliteetilla on vain 5,50 dollaria, mutta markkinoilla käydään kauppaa 8,00 dollarilla, markkinat viittaavat korkeampaan volatiliteettiin – noin 28,5 prosenttia. Tämä oletettu volatiliteetti on todellinen signaali: se kertoo, että markkinat odottavat keskimääräistä suurempia liikkeitä. Sijoittajat vertaavat implisiittistä volatiliteettia historialliseen volatiliteettiin päättääkseen, ovatko optiot halpoja vai kalliita.
Käytännön sovellukset
▾
Osake-, indeksi- ja ETF-optioiden hinnoittelu pörsseissä maailmanlaajuisesti, mikä antaa ammattilaisille mahdollisuuden tehdä tietoon perustuvia kvantitatiivisia päätöksiä validoitujen laskentamenetelmien ja alan standardimenetelmien perusteella, mikä edellyttää tarkkaa kvantitatiivista analyysiä näyttöön perustuvien päätösten, strategisten resurssien allokoinnin ja suorituskyvyn optimoinnin tukemiseksi erilaisissa organisaatiokonteksteissa ja ammatillisilla aloilla.
Arvostamme työntekijöiden osakeoptioita taloudelliseen raportointiin (ASC 718 / IFRS 2), autamme analyytikot tuottamaan tarkkoja tuloksia, jotka tukevat strategista suunnittelua, resurssien kohdentamista ja suorituskyvyn vertailua eri organisaatioissa, joissa tarkka numeerinen laskenta on välttämätöntä luotettavien tulosten tuottamiseksi, jotka antavat tietoa suunnittelusta, arvioinnista ja jatkuvasta parantamisesta sekä yritys- että yksittäisissä ympäristöissä.
Implisiittisen volatiliteetin poistaminen VIX-indeksin ja muiden volatiliteettien vertailuarvojen muodostamiseksi, jolloin ammattilaiset voivat kvantifioida tuloksia systemaattisesti ja verrata skenaarioita käyttämällä luotettavia matemaattisia viitteitä ja vakiintuneita kaavoja, vaativat systemaattisia laskentamenetelmiä, jotka muuntavat raakasyöttötiedot käyttökelpoisiksi oivalluksiksi sidosryhmille, jotka ovat riippuvaisia päivittäisestä ammatillisesta toiminnastaan.
Suojausoptiokirjat käyttämällä mallista laskettuja delta-, gamma- ja vega-arvoja, jotka tukevat dataohjattuja arviointiprosesseja, joissa numeerinen tarkkuus on olennaista vaatimustenmukaisuuden, raportoinnin ja optimointitavoitteiden kannalta, mikä edellyttää vankkoja laskentamenetelmiä, jotka tuottavat johdonmukaisia ja todennettavia tuloksia, jotka sopivat raportointiin, auditointiin ja pitkän aikavälin trendianalyysiin ammattiympäristöissä.
Erikoistapaukset
▾
Osinkoa maksavat osakkeet
Vakiomalli jättää osingot huomiotta. Tunnettuja osinkoja maksavien osakkeiden osalta vähennä odotettujen osinkojen nykyarvo nykyisestä osakkeen hinnasta ennen kaavan soveltamista. Jatkuvaa osinkotuottoa varten (yleistä indeksioptioille) korvaa S S·e^(−qT), jossa q on jatkuva osinkotuotto – tämä on Mertonin (1973) laajennus.
Hyvin lyhyt tai erittäin pitkä voimassaoloaika
Lähellä vanhenemista (päiviä) malli voi tuottaa epätarkkoja tuloksia, jos osake on lähellä lakkoa – todennäköisyysfunktiosta tulee erittäin herkkä pienille syötteen muutoksille. Erittäin pitkien optioiden (LEAPS, 2+ vuotta) kohdalla korkotason epävarmuus ja keskiarvon palautumissuuntaukset tekevät jatkuvasta volatiliteettioletuksesta yhä epärealistisempia.
Binaari- ja estevaihtoehdot
Black-Scholes ei vakiomuodossaan hinnoittele eksoottisia vaihtoehtoja, kuten esteitä (vaihtoehtoja, jotka aktivoituvat tai deaktivoivat hintakynnyksen kohdalla) tai binäärimuotoja (kiinteä voitto, jos ehto täyttyy). Nämä vaativat muokattuja kaavoja tai numeerisia menetelmiä, vaikka Black-Scholes-rakennuspalikoita esiintyy niiden johtamisessa.
Ostooptioiden arvioidut hinnat — S = 100 dollaria, r = 4%, T = 0,5 vuotta
▾
| lakko (K) | σ=15 % | σ = 25 % | σ = 35 % | σ=50 % |
|---|---|---|---|---|
| 80 dollaria (syvä ITM) | 21,50 dollaria | 22,60 dollaria | 24,10 dollaria | 26,80 dollaria |
| 95 dollaria (pieni ITM) | 7,80 dollaria | 9,90 dollaria | 12,10 dollaria | 15,30 dollaria |
| 100 dollaria (pankkiautomaatti) | 4,30 dollaria | 7,10 dollaria | 9,80 dollaria | 13,50 dollaria |
| 105 dollaria (pieni OTM) | 2,00 dollaria | 4,90 dollaria | 7,60 dollaria | 11,40 dollaria |
| 120 dollaria (syvä OTM) | 0,10 dollaria | 1,20 dollaria | 3,20 dollaria | 7,00 dollaria |
Usein kysytyt kysymykset
▾
Mitä on implisiittinen volatiliteetti ja miksi sillä on merkitystä?
Implied volatiliteetti (IV) on volatiliteettiarvo, joka Black-Scholes-kaavaan liitettynä tuottaa option nykyisen markkinahinnan. Se edustaa markkinoiden konsensusennustetta tulevasta hintaliikkeestä. Kun IV on korkea, vaihtoehdot ovat kalliita – markkinat pelkäävät suuria liikkeitä. Kun IV on alhainen, vaihtoehdot ovat halpoja. Sijoittajat vertaavat nykyistä IV:tä historialliseen volatiliteettiin löytääkseen yli- tai alihinnoiteltuja vaihtoehtoja. VIX-indeksi, jota usein kutsutaan "pelkomittariksi", on S&P 500 -optioiden oletettu volatiliteetti.
Miksi Black-Scholes ei voi hinnoitella amerikkalaisia vaihtoehtoja tarkasti?
Amerikkalaiset optiot voidaan käyttää milloin tahansa ennen voimassaolon päättymistä, mikä luo varhaisen harjoituspreemion, jota Black-Scholes ei pysty kaappaamaan suljetulla kaavallaan. Osingonjakoa maksamattomien osakkeiden amerikkalaisille puheluille varhainen toteutus ei ole koskaan optimaalinen (myydät optiota paremmin), joten Black-Scholesin puheluhinta on tarkka. Osinkoa maksavien osakkeiden amerikkalaisten putoamis- ja ostovelvoitteiden yhteydessä harjoittajat käyttävät binomipuita (Cox-Ross-Rubinstein-malli) tai numeerisia menetelmiä, kuten äärellisen erotuksen järjestelmiä.
Mikä on volatiliteettihymy ja miksi se ilmenee?
Jos Black-Scholes olisi täysin oikeassa, implisiittinen volatiliteetti olisi vakio kaikissa lakkohinnoissa. Käytännössä rahan loppuminen asettaa (onnettomuusvakuutus) kaupan korkeampiin implisiittisiin volatiliteettiin kuin rahalla maksettavat optiot, ja rahan loppumisesta tehdyt puhelut osoittavat joskus myös kohonnutta IV:tä. Tämä malli - jota kutsutaan volatiliteettihymyksi tai vinoon - heijastaa markkinaosapuolten pelkoa hännän tapahtumista, joita Black-Scholes aliarvioi. Se nousi näkyvästi esiin vuoden 1987 osakemarkkinoiden romahduksen jälkeen.
Mitä delta kertoo minulle vaihtoehdosta?
Delta (∂V/∂S) kertoo, kuinka paljon optiohinta muuttuu 1 dollarin osakeliikkeellä. Delta 0,60 tarkoittaa, että optiohinta nousee 0,60 dollarilla, kun osake nousee 1 dollarilla. Delta myös likimääräinen todennäköisyys, että optio vanhenee rahassa: 0,60 delta-puhelulla on noin 60 % todennäköisyys vanhentua rahassa. Sijoittajat käyttävät deltaa suojaukseen: ollaksesi "delta-neutraali", omistat osakkeita suhteessa option delta-arvoon kompensoidaksesi suunnattua altistumista.
Miten aikavaje (theta) vaikuttaa option arvoon?
Vaihtoehdot menettävät arvonsa vanhenemisen lähestyessä – tätä eroosiota kutsutaan aikarajaksi tai thetaaksi. Kaikki muu on sama, optio menettää arvonsa joka päivä yksinkertaisesti ajan myötä. At-the-money -optioilla on korkein aikavajoavuus absoluuttisesti mitattuna; syvällä rahassa tai kaukana rahassa olevilla vaihtoehdoilla on alhaisempi theta. Tästä syystä optioiden ostaminen edellyttää osakkeen liikkumista riittävästi kompensoidakseen jatkuvaa aika-arvon eroosiota – optioiden ostajat taistelevat ajan heikkenemistä vastaan joka päivä, kun heillä on positio.
Voidaanko Black-Scholesia käyttää kryptovaluuttaoptioihin?
Kyllä, merkittävin varoin. Black-Scholes voi hinnoitella kryptooptioita, jos syötät asianmukaisen implisiittisen volatiliteetin. Bitcoin-optioilla käydään kauppaa Deribitillä ja CME:llä, ja IV on usein 50–150 % – paljon korkeampi kuin osakemarkkinoilla. Mallin jatkuvan volatiliteetin oletus rikotaan vieläkin enemmän krypton osalta, jossa volatiliteetti itsessään on erittäin epävakaa (kutsutaan usein "vol of vol"). Kehittyneemmät mallit, kuten SABR tai Heston, jotka sallivat stokastisen volatiliteetin, sopivat paremmin tarkkaan kryptooptioiden hinnoitteluun.
Kuka oli Fischer Black ja miksi hän ei ole Nobel-palkittu?
Fischer Black oli soveltava matemaatikko ja taloustieteilijä, joka kehitti mallin yhdessä Myron Scholesin kanssa. Hän työskenteli Goldman Sachsilla soveltaen mallia käytännössä. Taloustieteen Nobel-palkinto myönnettiin vuonna 1997 Scholesille ja Robert Mertonille heidän työstään optioiden hinnoittelumenetelmien parissa. Fischer Black oli kuollut kurkkusyöpään elokuussa 1995 - kaksi vuotta ennen palkintoa. Nobelin palkintoa ei jaeta postuumisti, joten Musta tunnustettiin nimenomaisesti, mutta hän ei voinut saada palkintoa.
Yleisiä virheitä vältettäväksi
▾
- !Historiallisen volatiliteetin käyttäminen suoraan – mallin tulisi käyttää implisiittistä volatiliteettia tai tulevaisuuteen suuntautuvaa arviota, ei menneisyyttä. Viimeaikaisen historiallisen volyymin käyttäminen voi alihinnoitella vaihtoehdot ennen epävakaita tapahtumia, kuten tuloja.
- !Kytkentäaika päivinä ilman vuosiksi muuntamista — T:n on oltava vuosina (päivät/365 tai päivää/252 kaupankäyntipäiville).
- !Osinkoa maksavien osakkeiden osinkojen huomioimatta jättäminen – osinkojen oikaisun jättäminen pois yliarvostaa puhelut merkittävästi ja aliarvostaa osingonmaksajat lähellä ex-päivämäärää.
- !Mallin tuotoksen käsittely "oikeana" markkinahintana – malli on vertailukohta; reaalioptioilla käydään kauppaa kysynnän ja tarjonnan sekä likviditeetin määräämillä hinnoilla.
Ammattilaisen vinkki
Kun vertaat optioita eri lakkojen tai maturiteettien välillä, vertaa implisiittistä volatiliteettia optiohintojen sijaan. Optio voi näyttää halvalta dollareina mitattuna, mutta kalliilta volatiliteetilla mitattuna. Normalisoi aina katsomalla IV-pintaa – 3D-kartta implisiittisestä volatiliteetista lakkojen ja maturiteettien välillä – tunnistaaksesi suhteelliset arvomahdollisuudet.
Tiesitkö?
Black-Scholes-mallin ansiosta Chicago Board Options Exchange (CBOE) avattiin huhtikuussa 1973 - kirjaimellisesti samana kuukautena, jolloin lehti julkaistiin. Kymmenen vuoden aikana optiokaupan määrä kasvoi räjähdysmäisesti tuhansista miljooniin sopimuksiin päivässä. Kaava oli niin vaikuttava, että Texas Instruments tuotti erityisen taskulaskimen, johon oli esiohjelmoitu Black-Scholes pian julkaisun jälkeen.
Viitteet
Ratings & comments
Hanki viikoittaisia matematiikkavinkkejä
Liity 12 000+ tilaajien joukkoon, jotka saavat laskurivinkkejä joka viikko.