"Keskiarvo" on yksi matematiikan eniten käytetyistä ja väärin käytetyistä sanoista. Arkikielellä se tarkoittaa yleensä yhtä tiettyä asiaa - laske luvut yhteen ja jaa. Mutta tilastoissa on kolme erilaista keskiarvoa, joista jokainen sopii eri tilanteisiin. Väärän vaihtoehdon valitseminen johtaa harhaanjohtaviin johtopäätöksiin.
Kolme keskiarvon tyyppiä
1. Keskiarvo (aritmeettinen keskiarvo)
Keskiarvo on mitä useimmat ihmiset tarkoittavat "keskiarvolla". Lisää kaikki arvot ja jaa niiden lukumäärällä.
Mean = Sum of all values / Number of values
Esimerkki: Testin tulokset: 72, 85, 91, 68, 77, 95, 82
Summa = 72 + 85 + 91 + 68 + 77 + 95 + 82 = 570 Luku = 7 Keskiarvo = 570/7 = 81,4
Milloin sitä käytetään: Kun tiedot ovat suunnilleen symmetrisiä ilman äärimmäisiä poikkeavuuksia. Toimii hyvin korkeuksiin, testituloksiin ja lämpötiloihin.
Milloin sitä EI saa käyttää: Kun poikkeavia on olemassa. Yksi miljardööri keskituloisten huoneessa tekee keskituloista erittäin harhaanjohtavan.
2. Mediaani (keskiarvo)
Mediaani on keskiarvo, kun tiedot lajitellaan järjestykseen. Puolet arvoista on sen yläpuolella, puolet sen alapuolella.
Pariton määrä arvoja: lajittele ja ota keskimmäinen. Parillinen luku: Lajittele ja ota kahden keskiarvon keskiarvo.
Esimerkki (pariton): 72, 68, 85, 91, 77, 95, 82 Lajittele: 68, 72, 77, 82, 85, 91, 95 Mediaani = 82
Esimerkki (parillinen): 68, 72, 77, 82, 85, 91 Kaksi keskimmäistä: 77 ja 82 Mediaani = (77 + 82) / 2 = 79,5
Milloin sitä käytetään: Kun tiedoissa on poikkeamia tai ne ovat vinossa. Asuntojen hinnat, palkat ja tulojakaumat käyttävät aina mediaania, koska kourallinen ääriarvoja vääristäisi keskiarvoa.
3. Tila (yleisin arvo)
Tila on arvo, joka näkyy useimmin. Tietojoukossa voi olla yksi tila (unimodaalinen), kaksi (bimodaalinen) tai useampi (multimodaalinen). Jos mikään arvo ei toistu, tilaa ei ole.
Esimerkki: Viikossa myytävät kenkäkoot: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10 Tila = 8 (näkyy 3 kertaa)
Milloin sitä käytetään: Kategoriset tiedot, kyselyvastaukset tai kun tarvitset yleisimmän arvon matemaattisen keskuksen sijaan. Kengänvalmistaja välittää tilasta, ei keskimääräisestä kengän koosta.
Painotettu keskiarvo
Kun jotkin arvot merkitsevät enemmän kuin toiset, käytä painotettua keskiarvoa:
Weighted mean = Σ(value × weight) / Σ(weights)
Esimerkki: Yliopistomoduulien arvosanat eri opintopistepainoilla:
| Moduuli | Luokka | Krediitit |
|---|---|---|
| Matematiikka | 72 | 30 |
| englanti | 85 | 15 |
| Historia | 68 | 15 |
| Tiede | 91 | 40 |
Painotettu keskiarvo = (72 × 30 + 85 × 15 + 68 × 15 + 91 × 40) / (30 + 15 + 15 + 40) = (2 160 + 1 275 + 1 020 + 3 640) / 100 = 8 095 / 100 = 80,95
Tämä eroaa yksinkertaisesta keskiarvosta 79,0 – Tiede-moduulin korkeampi opintopistepainotus nostaa keskiarvoa.
GPA-laskelmat, sijoitussalkun tuotot ja tenttimerkintä käyttävät painotettuja keskiarvoja.
Geometrinen keskiarvo
Käytä geometristä keskiarvoa määrille, jotka yhdistetään tai kerrotaan (kasvuluvut, sijoitustuotot):
Geometric mean = (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n)
Esimerkki: Vuotuinen sijoitustuotto +50 %, −30 %, +20 %
Yksinkertainen keskiarvo = (+50 − 30 + 20) / 3 = +13,3 % — harhaanjohtavan optimistinen
Geometrinen keskiarvo = (1,50 × 0,70 × 1,20)^(1/3) − 1 = (1.26)^(1/3) − 1 = 1,0797 − 1 = +7,97 % vuodessa
Tämä kuvastaa todellista yhdistelmää: 1 000 £ → 1 500 £ → 1 050 £ 1 260, mikä antaa 7,97 % vuotuisen kasvun — ei 13,3 %.
Mitä keskiarvoa sinun tulisi käyttää?
| Tilanne | Paras keskiarvo |
|---|---|
| Symmetrinen data, ei poikkeamia | Tarkoittaa |
| Vääristynyt data tai poikkeavia arvoja | Mediaani |
| Yleisin tarvittava arvo | tila |
| Arvoilla on eri merkitys | Painotettu keskiarvo |
| Hinnat, suhteet tai yhdistelyt | Geometrinen keskiarvo |
| Palkka/tulo vertailut | Mediaani |
| Asuntojen hintatilastot | Mediaani |
| Urheilun lyöntikeskiarvot | Keskiarvo (tai tietty kaava) |
| Sijoitetun pääoman tuotto vuosien aikana | Geometrinen keskiarvo |
Yleisiä virheitä
Oletetaan, että "keskimääräinen" tarkoittaa aina keskimääräistä. Kun näet uutisraporteissa "keskipalkan", kysy, onko se keskimääräinen vai mediaani. Keskiarvo on tyypillisesti 20–30 % korkeampi kuin mediaani, koska korkeatuloiset vääristävät tietoja.
Keskimääräiset prosenttiosuudet ilman painotusta. Jos salkussasi on 1 000 puntaa rahastossa A (+10 %) ja 9 000 puntaa rahastossa B (+2 %), keskimääräinen tuotto EI ole 6 %. Se on (100 £ + 180 £) / 10 000 £ = 2,8 %.
Jakauma huomioimatta. Keskiarvo voi olla sama hyvin erilaisille tietojoukoille. Luokassa, jossa kaikki saavat 70 %, ja luokalla, jossa puolet pisteistä 40 % ja puolet 100 %, on sama keskiarvo – mutta hyvin erilaiset oppimistulokset.
Käytä [Mean, Median, Mode Calculator] (/en/math/statistics/mean-mediaan-mode) ja [Weighted Average Calculator] (/en/math/statistics/weighted-average) laskeaksesi minkä tahansa tyyppisen keskiarvon omista tiedoistasi.