Z-piste (tai vakiopistemäärä) mittaa kuinka monta standardipoikkeamaa datapiste on keskiarvosta. Se muuntaa raakapisteet standardoiduksi asteikoksi, joka mahdollistaa vertailun eri tietojoukkojen välillä.
Z-Score-kaava
z = (x − μ) ÷ σ
Jossa:
- x = yksittäinen tietopiste
- μ (mu) = väestön keskiarvo
- σ (sigma) = väestön keskihajonna
Korvaa näytteessä μ x̄:lla (näytteen keskiarvo) ja σ s:llä (näytteen SD).
Toiminut esimerkki
Opiskelija saa kokeesta 72 pistettä. Luokan keskiarvo on 65 ja keskihajonta on 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Tämä opiskelija sai 0,875 standardipoikkeamaa keskiarvon yläpuolelle.
Z-pisteiden tulkitseminen
| Z-pisteet | Tulkinta | Prosenttipiste (noin) |
|---|---|---|
| −3 | Äärimmäisen alle keskiarvon | 0.1% |
| −2 | Reilusti alle keskiarvon | 2.3% |
| −1 | Alle keskiarvon | 15.9% |
| 0 | Keskimäärin | 50.0% |
| +1 | Keskimääräistä korkeampi | 84.1% |
| +2 | Reilusti keskiarvon yläpuolella | 97.7% |
| +3 | Äärimmäisen keskiarvon yläpuolella | 99.9% |
Sääntö 68-95-99.7
Normaalijakaumassa:
- 68 % tiedoista on ±1 standardipoikkeaman sisällä
- 95 % ±2 standardipoikkeaman sisällä
- 99,7 % ±3 standardipoikkeaman sisällä
Muunnetaan Z-pisteet prosenttipisteiksi
Kun sinulla on z-pisteet, etsi tavallinen normaalitaulukko (Z-taulukko) tai käytä:
Percentile = Φ(z) × 100
Missä Φ on kumulatiivinen normaalijakaumafunktio.
Esimerkki: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3 prosenttipiste
Z-pisteiden sovellukset
Rahoitus:
- Altman Z-Score ennustaa konkurssiriskiä
- Käytetään riskienhallinnassa poikkeamien tunnistamiseen
Terveydenhuolto:
- BMI iän z-pisteet lapsille
- Luun tiheys (DXA) T-pisteet ovat z-pisteiden muoto
Laadunvalvonta:
- Six Sigma käyttää z-pisteitä prosessikyvyn mittaamiseen
- "6-sigman" prosessin z-pistemäärä on 6 (3,4 vikaa miljoonassa)
Vakiotestin tulokset:
- ÄO-pisteet: keskiarvo 100, SD 15 (z-pisteet +2 → IQ 130)
- SAT-pisteet: keskiarvo 1000, SD 200 (skaalattu z-pisteistä)
Pisteiden vertailu eri testeistä
Esimerkki: Alice sai 80 pistettä testissä A (keskiarvo 70, SD 10). Bob sai 55 pistettä testissä B (keskiarvo 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Huolimatta pienemmästä raakapisteestä, Bob suoriutui paremmin verrattuna ikätoveriinsa.