Keskihajonta on tilastoissa yleisimmin käytetty leviämisen mitta. Se kertoo, kuinka hajautetut arvot ovat keskiarvon ympärillä. Tämä opas selittää sen ensimmäisistä periaatteista lähtien toimivilla esimerkeillä.
Mitä keskihajonta kertoo
Keskiarvo kertoo tietojoukon keskuksen. Keskihajonta kertoo, kuinka kauas arvot tyypillisesti poikkeavat kyseisestä keskustasta.
Matala keskihajonta → arvot klusteroituvat tiukasti keskiarvon ympärille Suuri keskihajonta → arvot leviävät laajasti keskiarvosta
Kahden tenttiluokan keskiarvo on 70 %, mutta:
- Luokka A: pisteet 68, 69, 70, 71, 72 – SD ≈ 1,4 (erittäin johdonmukainen)
- Luokka B: pisteet 40, 55, 70, 85, 100 - SD ≈ 22,4 (erittäin vaihteleva)
Sama keskiarvo, hyvin erilaiset jakaumat.
Kaava
On olemassa kaksi versiota sen mukaan, onko sinulla koko populaatio vai otos.
Väestön keskihajonta (σ)
Käytä, kun sinulla on tietoja jokaisesta ryhmän jäsenestä.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
Esimerkki keskihajonnasta (s)
Käytä, kun tietosi ovat otos suuremmasta populaatiosta (yleisin tapaus).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
Nimittäjä on n − 1 (ei n) korjaamaan harhaa, joka johtuu populaatioparametrin arvioinnista otoksesta. Tätä kutsutaan Besselin korjaukseksi.
Vaiheittainen laskenta
Tietosarja: Testin tulokset 6 opiskelijalle: 72, 85, 68, 91, 74, 80
Vaihe 1: Etsi keskiarvo
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
Vaihe 2: Etsi jokainen poikkeama keskiarvosta
| Pisteet | Poikkeama (x − x̄) | Neliön poikkeama |
|---|---|---|
| 72 | −6.33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −10.33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | −4.33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
Vaihe 3: Summaa neliöidyt poikkeamat
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
Vaihe 4: Jaa n − 1:llä (näyte)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
Vaihe 5: Ota neliöjuuri
s = √(74.67) = 8.64
Keskihajonta on 8,64 pistettä. Tyypillinen oppilastulos on noin 8–9 pisteen päässä luokan keskiarvosta.
Sääntö 68-95-99.7
Normaalisti jakautuneiden tietojen (kellokäyrä) keskihajonnan suhteen on ennustettava suhde leviämiseen:
- 68 % arvoista on 1 SD sisällä keskiarvosta
- 95 % arvoista on 2 SD sisällä keskiarvosta
- 99,7 % arvoista on 3 SD sisällä keskiarvosta
Sovellettu esimerkkiimme (keskiarvo = 78,33, SD = 8,64):
- 68 % pisteistä: 78,33 ± 8,64 → 69,7 - 86,97
- 95 % pisteistä: 78,33 ± 17,28 → 61,05 - 95,61
- 99,7 % pisteistä: 78,33 ± 25,92 → 52,41 - 104,25
Varianssi vs keskihajonta
Varianssi on keskihajonnan neliö: s² = 74,67 esimerkissämme.
Miksi käyttää keskihajontaa varianssin sijaan?
- Keskihajonta on samoissa yksiköissä kuin tietosi (pisteet, dollarit, metrit)
- Varianssi on neliöyksiköissä — vaikeampi tulkita käytännössä
- "Keskimääräinen pistemäärä poikkesi 8,64 pistettä" on merkityksellinen; "varianssi oli 74,67 pistettä²" ei ole
Tosimaailman käyttö
Rahoitus: Osake, jonka päivittäinen tuotto on keskimäärin 0,05 % ja SD 1,2 %, on paljon riskialtisempi kuin osake, jonka keskituotto on sama ja SD 0,3 %. Keskihajonta on volatiliteettimittauksen perusta.
Valmistus: Tehdas, joka valmistaa pultteja, joiden tavoitehalkaisija on 10 mm ja SD 0,02 mm, on paljon yhdenmukaisempi kuin pulttien, joiden SD on 0,5 mm. Laadunvalvonta perustuu SD:hen.
Lääketiede: Kliiniset tutkimukset raportoivat SD:n sekä keinot, jotka osoittavat, kuinka johdonmukaisesti hoito toimi potilaiden kesken.
Sää: "Keskilämpötila 18°C ja SD 4°C" kertoo paljon enemmän kuin pelkkä keskimääräinen – tiedät mitä pakata.
Z-pisteet
Z-piste muuntaa minkä tahansa arvon keskihajonnan yksiköiksi, mikä mahdollistaa vertailun eri tietojoukkojen välillä:
z = /x - x̄s
Opiskelija, joka sai esimerkissämme 91 pistettä:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
Tämä pistemäärä on 1,47 standardipoikkeamaa keskiarvon yläpuolella – parempi kuin noin 93 % luokasta.
Laske keskihajonta nyt
Tilastolaskurimme laskee keskihajonnan, varianssin, keskiarvon, mediaanin, moodin ja paljon muuta mistä tahansa syöttämästäsi tietojoukosta. Liitä numerosi ja saat täydelliset tulokset välittömästi.