La valeur attendue (EV) est la moyenne pondérée par la probabilité de tous les résultats possibles. Il vous indique ce à quoi vous pouvez vous attendre en moyenne si vous répétez un événement plusieurs fois.
La formule
E(X) = Σ (probability × value)
Faites la somme de toutes les paires (probabilité × résultat).
Exemple simple : pari Coin Flip
Un tirage au sort équitable :
- Face : gagnez 10 £
- Face : perdez 8 £
E(X) = (0.5 × 10) + (0.5 × −8)
E(X) = 5 + (−4) = £1
Interprétation : En moyenne, vous gagnez 1 £ par lancer. Il s’agit d’un pari EV positif qui mérite d’être pris à plusieurs reprises.
Exemple : Assurance
Devriez-vous souscrire une police d’assurance téléphonique de 200 £/an ?
Supposer:
- 5 % de chances que le téléphone soit endommagé (coût : 400 £ pour la réparation)
- 95 % de chances de ne pas subir de dégâts
Coût prévu sans assurance :
E(cost) = (0.05 × £400) + (0.95 × £0) = £20
Coût de l'assurance : 200 £
L'assurance coûte 200 £ pour des dommages attendus de 20 £ – vous payez 10 × le coût prévu. Mathématiquement, l’assurance est une décision négative concernant les véhicules électriques. Cependant, la réduction du risque peut valoir la prime si vous ne pouvez pas vous permettre la perte de 400 £.
Jeux de hasard : l'avantage de la maison
Une roulette européenne (37 numéros, 0-36). Vous pariez 1 € sur un seul numéro :
- Gagner : 1 chance sur 37, paiement = 36 £ (35 : 1 + votre mise)
- Perdu : 36 occasions sur 37
E(X) = (1/37 × 36) + (36/37 × −1)
E(X) = 0.973 − 0.973 = −0.027
Perte attendue = 0,027 £ par pari de 1 £ = 2,7 % d'avantage de la maison.
Plus de 1 000 tours de 1 £ chacun :
Expected loss = 1,000 × 0.027 = £27
Prise de décision commerciale
Une entreprise décide de lancer ou non un produit :
| Résultat | Probabilité | Bénéfice/Perte |
|---|---|---|
| Fort succès | 20% | +500 000 £ |
| Succès modéré | 40% | +100 000 £ |
| Seuil de rentabilité | 25% | 0 £ |
| Échec | 15% | −200 000 £ |
EV = (0.2 × 500,000) + (0.4 × 100,000) + (0.25 × 0) + (0.15 × −200,000)
EV = 100,000 + 40,000 + 0 − 30,000 = £110,000
EV positif → poursuivre le projet.
Limites de la valeur attendue
- La variance compte : Une chance de 50 % de gagner 200 £ et un certain 100 £ ont le même EV, mais des profils de risque très différents
- Événements uniques : EV ne garantit que des résultats moyens sur de nombreuses répétitions
- Utilité vs argent : Les gens apprécient l'argent de manière non linéaire (aversion au risque). Perdre 1 000 £ fait plus mal que gagner 1 000 £ aide.
EV au poker
Le poker professionnel consiste à calculer les cotes du pot et la valeur attendue pour chaque décision. Si un pari a un EV positif, il doit être effectué quel que soit le résultat à court terme.
EV = (probability of winning × pot size) − (probability of losing × bet size)