L’écart type est la mesure de propagation la plus largement utilisée dans les statistiques. Il vous indique à quelle distance une valeur typique se situe par rapport à la moyenne, si vos données sont étroitement regroupées ou largement dispersées. Une fois que vous avez effectué le calcul à la main, le concept devient intuitif.
Ce que vous dit l'écart type
Si une classe d’étudiants obtient une note moyenne à l’examen de 70 avec un écart type de 5, la plupart des scores se situent entre 65 et 75. Si l’écart type était de 20, les scores varieraient beaucoup plus largement – de 50 à 90 et au-delà.
Un petit écart type signifie une cohérence. Un grand signifie de la variabilité.
Population par rapport à l'écart type de l'échantillon
Il existe deux versions, et choisir la bonne est important :
Écart type de population (σ) : À utiliser lorsque vous disposez de données pour chaque membre du groupe qui vous intéresse. Divise par n.
Écart(s) type(s) de l'échantillon : À utiliser lorsque vos données sont un échantillon tiré d'une population plus large. Divise par n − 1 (correction de Bessel, qui tient compte de l'incertitude introduite par l'échantillonnage).
En pratique, vous utilisez presque toujours l'écart type de l'échantillon, sauf si vous analysez un recensement complet ou un ensemble de données contrôlé sans aucun membre manquant.
Calcul étape par étape
Ensemble de données : 4, 7, 13, 2, 1 (un échantillon de 5 valeurs)
Étape 1 : Calculer la moyenne
Mean (x̄) = (4 + 7 + 13 + 2 + 1) / 5 = 27 / 5 = 5.4
Étape 2 : Trouvez chaque écart par rapport à la moyenne
Soustrayez la moyenne de chaque valeur :
| Valeur (x) | Déviation (x − x̄) |
|---|---|
| 4 | 4 − 5,4 = −1,4 |
| 7 | 7 − 5,4 = +1,6 |
| 13 | 13 − 5,4 = +7,6 |
| 2 | 2 − 5,4 = −3,4 |
| 1 | 1 − 5,4 = −4,4 |
Étape 3 : Mettre au carré chaque écart
La mise au carré élimine les signes négatifs et met l’accent sur les écarts plus importants :
| Déviation | Écart carré |
|---|---|
| −1,4 | 1.96 |
| +1.6 | 2.56 |
| +7.6 | 57.76 |
| −3,4 | 11.56 |
| −4,4 | 19.36 |
Étape 4 : Additionner les carrés des écarts
Sum = 1.96 + 2.56 + 57.76 + 11.56 + 19.36 = 93.2
Étape 5 : Diviser par n − 1 (pour l'écart type de l'échantillon)
Variance (s²) = 93.2 / (5 − 1) = 93.2 / 4 = 23.3
Étape 6 : Prenez la racine carrée
Standard deviation (s) = √23.3 = 4.83
Interprétation : Les valeurs de cet ensemble de données se situent généralement à environ 4,83 unités de la moyenne de 5,4.
La formule écrite
Échantillon d'écart type :
s = √[ Σ(x − x̄)² / (n − 1) ]
Écart type de la population :
σ = √[ Σ(x − μ)² / n ]
Où μ (mu) est la moyenne de la population.
La règle empirique (règle 68-95-99.7)
Pour les données qui suivent une distribution normale, l'écart type a une relation fiable avec la proportion de données dans chaque plage :
| Gamme | Proportion de données |
|---|---|
| Moyenne ± 1 ET | ~68% |
| Moyenne ± 2 ET | ~95 % |
| Moyenne ± 3 ET | ~99,7% |
Exemple appliqué : Les scores de QI ont une moyenne de 100 et un écart-type de 15.
- 68% des personnes obtiennent un score compris entre 85 et 115
- 95% de note entre 70 et 130
- 99,7% de note entre 55 et 145
Cette règle s'applique uniquement aux données normalement distribuées. Pour les distributions asymétriques ou à queue lourde, utilisez plutôt l'inégalité de Chebyshev.
Variance par rapport à l'écart type
La variance est l'écart carré (étape 5 ci-dessus) — l'écart type est sa racine carrée. Les deux mesures s'étendent, mais l'écart type est exprimé dans les mêmes unités que les données d'origine, ce qui les rend plus interprétables.
Si vos données sont en kilogrammes, votre écart type est en kilogrammes. Votre variance est en kilogrammes carrés, ce qui est plus difficile à interpréter de manière significative.
Applications courantes
Finance : Mesure de la volatilité des investissements. Une action avec des rendements quotidiens ayant un SD élevé est plus volatile – un gain potentiel plus élevé et une perte potentielle plus élevée.
Contrôle qualité : La fabrication utilise SD pour garantir que les produits restent dans les limites de tolérance. Un processus avec SD trop grand produit trop d'éléments défectueux.
Éducation : Standardisation des résultats des tests. Un score z vous indique combien d'écarts types un score se situe au-dessus ou en dessous de la moyenne : z = (x − moyenne) / SD.
Science : Exprimer l'incertitude des mesures et comparer les résultats expérimentaux.
Raccourci pour le calcul
Pour les grands ensembles de données, utilisez la formule de calcul qui évite de calculer les écarts individuellement :
s² = [Σx² − (Σx)²/n] / (n − 1)
Ceci est mathématiquement équivalent mais ne nécessite que deux passages dans les données au lieu de trois.
Utilisez notre Calculateur d'écart type pour calculer l'écart-type, la variance et une répartition complète pour tout ensemble de données que vous saisissez.