L’écart type est la mesure de propagation la plus largement utilisée dans les statistiques. Il vous indique à quel point les valeurs sont réparties autour de la moyenne. Ce guide l'explique à partir des premiers principes avec des exemples concrets.
Ce que vous dit l'écart type
La moyenne vous indique le centre d'un ensemble de données. L'écart type vous indique dans quelle mesure les valeurs s'écartent généralement de ce centre.
Faible écart type → valeurs regroupées étroitement autour de la moyenne Écart type élevé → valeurs largement écartées de la moyenne
Deux classes d'examen ont toutes deux une moyenne de 70 %, mais :
- Classe A : scores de 68, 69, 70, 71, 72 — SD ≈ 1,4 (très cohérent)
- Classe B : scores de 40, 55, 70, 85, 100 — SD ≈ 22,4 (très variable)
Même moyenne, distributions très différentes.
La formule
Il existe deux versions selon que vous disposez de la population complète ou d'un échantillon.
Écart type de la population (σ)
À utiliser lorsque vous disposez de données pour chaque membre du groupe.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
Échantillon d'écart-type (s)
À utiliser lorsque vos données proviennent d'un échantillon d'une population plus large (cas le plus courant).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
Le dénominateur est n − 1 (et non n) pour corriger le biais résultant de l'estimation d'un paramètre de population à partir d'un échantillon. C'est ce qu'on appelle la correction de Bessel.
Calcul étape par étape
Ensemble de données : Résultats des tests pour 6 étudiants : 72, 85, 68, 91, 74, 80
Étape 1 : Trouver la moyenne
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
Étape 2 : Trouvez chaque écart par rapport à la moyenne
| Score | Déviation (x − x̄) | Écart carré |
|---|---|---|
| 72 | −6,33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −10h33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | −4,33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
Étape 3 : Additionner les carrés des écarts
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
Étape 4 : Diviser par n − 1 (échantillon)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
Étape 5 : Prenez la racine carrée
s = √(74.67) = 8.64
L'écart type est de 8,64 points. Le score typique d'un élève se situe à environ 8 à 9 points de la moyenne de la classe.
La règle 68-95-99.7
Pour les données normalement distribuées (courbe en cloche), l'écart type a une relation prévisible avec l'étalement :
- 68 % des valeurs se situent à 1 ÉT de la moyenne
- 95 % des valeurs se situent dans 2 SD de la moyenne
- 99,7 % des valeurs se situent dans 3 SD de la moyenne
Appliqué à notre exemple (moyenne = 78,33, SD = 8,64) :
- 68% des scores : 78,33 ± 8,64 → 69,7 à 86,97
- 95% des scores : 78,33 ± 17,28 → 61,05 à 95,61
- 99,7% des scores : 78,33 ± 25,92 → 52,41 à 104,25
Variance par rapport à l'écart type
La variance est l'écart type carré : s² = 74,67 dans notre exemple.
Pourquoi utiliser l’écart type plutôt que la variance ?
- L'écart type est dans les mêmes unités que vos données (points, dollars, mètres)
- La variance est en unités carrées — plus difficile à interpréter en pratique
- « La note moyenne écartée de 8,64 points » est significative ; "l'écart était de 74,67 points²" n'est pas
Utilisations dans le monde réel
Finance : Une action avec des rendements quotidiens moyens de 0,05 % et un SD de 1,2 % est beaucoup plus risquée qu'une action avec le même rendement moyen et un SD de 0,3 %. L'écart type est le fondement de la mesure de la volatilité.
Fabrication : Une usine produisant des boulons avec un diamètre cible de 10 mm et un SD de 0,02 mm est bien plus cohérente qu'une usine avec un SD de 0,5 mm. Le contrôle qualité repose sur SD.
Médecine : Les essais cliniques rapportent le SD ainsi que les moyens de montrer la cohérence avec laquelle un traitement a fonctionné sur tous les patients.
Météo : "Température moyenne 18°C avec SD 4°C" vous en dit bien plus que la moyenne seule : vous savez quoi emporter.
Z-Scores
Un score z convertit n'importe quelle valeur en unités d'écart type, permettant ainsi la comparaison entre différents ensembles de données :
z = /x - x̄s
Un élève ayant obtenu un score de 91 dans notre exemple :
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
Ce score est de 1,47 écart-type au-dessus de la moyenne, soit mieux qu'environ 93 % de la classe.
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