પ્રમાણભૂત વિચલન એ આંકડાઓમાં ફેલાવાનું સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતું માપ છે. તે તમને જણાવે છે કે સામાન્ય મૂલ્ય સરેરાશથી કેટલું દૂર છે — પછી ભલે તમારો ડેટા ચુસ્તપણે ક્લસ્ટર થયેલ હોય અથવા વ્યાપક રીતે વિખેરાયેલો હોય. એકવાર તમે હાથ વડે ગણતરી પર કામ કરી લો તે પછી, ખ્યાલ સાહજિક બની જાય છે.
માનક વિચલન તમને શું કહે છે
જો વિદ્યાર્થીઓનો વર્ગ 5 ના પ્રમાણભૂત વિચલન સાથે સરેરાશ પરીક્ષાનો સ્કોર 70 ધરાવે છે, તો મોટા ભાગના સ્કોર્સ 65 અને 75 ની વચ્ચે આવે છે. જો પ્રમાણભૂત વિચલન 20 હોત, તો સ્કોર્સ વધુ વ્યાપક રીતે શ્રેણીબદ્ધ હોત — 50 થી 90 અને તેનાથી વધુ.
એક નાનું પ્રમાણભૂત વિચલન એટલે સુસંગતતા. મોટો એટલે પરિવર્તનશીલતા.
વસ્તી વિ નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન
ત્યાં બે સંસ્કરણો છે, અને યોગ્ય એક પસંદ કરવાનું મહત્વનું છે:
વસ્તી પ્રમાણભૂત વિચલન (σ): જ્યારે તમારી પાસે જૂથના દરેક સભ્ય માટે ડેટા હોય ત્યારે ઉપયોગ કરો જેની તમે કાળજી રાખો છો. n વડે ભાગાકાર.
નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન (ઓ): જ્યારે તમારો ડેટા મોટી વસ્તીમાંથી લેવાયેલ નમૂનો હોય ત્યારે ઉપયોગ કરો. n − 1 વડે વિભાજીત થાય છે (બેસેલનું કરેક્શન, જે સેમ્પલિંગ દ્વારા રજૂ કરાયેલી અનિશ્ચિતતા માટે જવાબદાર છે).
વ્યવહારમાં, તમે લગભગ હંમેશા નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કરો છો — સિવાય કે તમે સંપૂર્ણ વસ્તી ગણતરી અથવા કોઈ ખૂટતા સભ્યો વિના નિયંત્રિત ડેટાસેટનું વિશ્લેષણ કરી રહ્યાં હોવ.
સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ગણતરી
ડેટાસેટ: 4, 7, 13, 2, 1 (5 મૂલ્યોનો નમૂનો)
પગલું 1: સરેરાશની ગણતરી કરો
Mean (x̄) = (4 + 7 + 13 + 2 + 1) / 5 = 27 / 5 = 5.4
પગલું 2: સરેરાશમાંથી દરેક વિચલન શોધો
દરેક મૂલ્યમાંથી સરેરાશ બાદ કરો:
| મૂલ્ય (x) | વિચલન (x − x̄) |
|---|---|
| 4 | 4 − 5.4 = −1.4 |
| 7 | 7 − 5.4 = +1.6 |
| 13 | 13 − 5.4 = +7.6 |
| 2 | 2 − 5.4 = −3.4 |
| 1 | 1 − 5.4 = −4.4 |
પગલું 3: દરેક વિચલનને ચોરસ કરો
સ્ક્વેરિંગ નકારાત્મક ચિહ્નોને દૂર કરે છે અને મોટા વિચલનો પર ભાર મૂકે છે:
| વિચલન | ચોરસ વિચલન |
|---|---|
| −1.4 | 1.96 |
| +1.6 | 2.56 |
| +7.6 | 57.76 |
| −3.4 | 11.56 |
| −4.4 | 19.36 |
પગલું 4: વર્ગ વિચલનોનો સરવાળો
Sum = 1.96 + 2.56 + 57.76 + 11.56 + 19.36 = 93.2
પગલું 5: n −1 વડે ભાગાકાર કરો (નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન માટે)
Variance (s²) = 93.2 / (5 − 1) = 93.2 / 4 = 23.3
પગલું 6: વર્ગમૂળ લો
Standard deviation (s) = √23.3 = 4.83
અર્થઘટન: આ ડેટાસેટમાં મૂલ્યો સામાન્ય રીતે 5.4 ના સરેરાશથી લગભગ 4.83 એકમો દૂર બેસે છે.
ફોર્મ્યુલા લખેલી
નમૂનો પ્રમાણભૂત વિચલન:
s = √[ Σ(x − x̄)² / (n − 1) ]
વસ્તી પ્રમાણભૂત વિચલન:
σ = √[ Σ(x − μ)² / n ]
જ્યાં μ (mu) એ વસ્તીનો સરેરાશ છે.
પ્રયોગમૂલક નિયમ (68-95-99.7 નિયમ)
સામાન્ય વિતરણને અનુસરતા ડેટા માટે, પ્રમાણભૂત વિચલન દરેક શ્રેણીમાં ડેટાના પ્રમાણ સાથે વિશ્વસનીય સંબંધ ધરાવે છે:
| શ્રેણી | ડેટાનું પ્રમાણ |
|---|---|
| સરેરાશ ± 1 SD | ~68% |
| સરેરાશ ± 2 SD | ~95% |
| સરેરાશ ± 3 SD | ~99.7% |
પ્રયોજિત ઉદાહરણ: IQ સ્કોર્સનો સરેરાશ 100 અને SD 15 છે.
- 68% લોકો 85 અને 115 ની વચ્ચે સ્કોર કરે છે
- 70 અને 130 ની વચ્ચે 95% સ્કોર
- 55 અને 145 વચ્ચે 99.7% સ્કોર
આ નિયમ ફક્ત સામાન્ય રીતે વિતરિત ડેટા પર લાગુ થાય છે. ત્રાંસી અથવા ભારે પૂંછડીવાળા વિતરણો માટે, તેના બદલે ચેબીશેવની અસમાનતાનો ઉપયોગ કરો.
વિચલન વિ માનક વિચલન
વિવિધતા એ વર્ગીય વિચલન છે (ઉપરનું પગલું 5) — પ્રમાણભૂત વિચલન તેનું વર્ગમૂળ છે. બંને સ્પ્રેડને માપે છે, પરંતુ પ્રમાણભૂત વિચલન મૂળ ડેટા જેવા જ એકમોમાં દર્શાવવામાં આવે છે, જે તેને વધુ અર્થઘટનયોગ્ય બનાવે છે.
જો તમારો ડેટા કિલોગ્રામમાં છે, તો તમારું પ્રમાણભૂત વિચલન કિલોગ્રામમાં છે. તમારું વિચલન કિલોગ્રામ-ચોરસમાં છે, જેનો અર્થપૂર્ણ અર્થઘટન કરવું મુશ્કેલ છે.
સામાન્ય અરજીઓ
ફાઇનાન્સ: રોકાણની અસ્થિરતાને માપવા. ઉચ્ચ SD ધરાવતો દૈનિક વળતર ધરાવતો સ્ટોક વધુ અસ્થિર છે - ઉચ્ચ સંભવિત લાભ અને ઉચ્ચ સંભવિત નુકસાન.
ગુણવત્તા નિયંત્રણ: ઉત્પાદન સહનશીલતામાં રહે તેની ખાતરી કરવા માટે SD નો ઉપયોગ કરે છે. ખૂબ મોટી SD સાથેની પ્રક્રિયા ઘણી બધી ખામીયુક્ત વસ્તુઓ પેદા કરે છે.
શિક્ષણ: ટેસ્ટ સ્કોર્સનું માનકીકરણ. z-સ્કોર તમને જણાવે છે કે સરેરાશ કરતાં કેટલા પ્રમાણભૂત વિચલનો સ્કોર ઉપર અથવા નીચે બેસે છે: z = (x − સરેરાશ) / SD.
વિજ્ઞાન: માપની અનિશ્ચિતતા વ્યક્ત કરવી અને પ્રાયોગિક પરિણામોની સરખામણી કરવી.
ગણતરી માટે શોર્ટકટ
મોટા ડેટાસેટ્સ માટે, કોમ્પ્યુટેશનલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરો જે વ્યક્તિગત રીતે વિચલનોની ગણતરી કરવાનું ટાળે છે:
s² = [Σx² − (Σx)²/n] / (n − 1)
આ ગાણિતિક રીતે સમકક્ષ છે પરંતુ ડેટામાંથી ત્રણને બદલે માત્ર બે પાસની જરૂર છે.
તમે દાખલ કરો છો તે કોઈપણ ડેટાસેટ માટે SD, ભિન્નતા અને સંપૂર્ણ બ્રેકડાઉનની ગણતરી કરવા માટે અમારા માનક વિચલન કેલ્ક્યુલેટર નો ઉપયોગ કરો.