પ્રમાણભૂત વિચલન એ આંકડાઓમાં ફેલાવાનું સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતું માપ છે. તે તમને કહે છે કે સરેરાશની આસપાસ મૂલ્યો કેવી રીતે ફેલાયેલ છે. આ માર્ગદર્શિકા તેને કાર્ય કરેલા ઉદાહરણો સાથે પ્રથમ સિદ્ધાંતોથી સમજાવે છે.
માનક વિચલન તમને શું કહે છે
સરેરાશ તમને ડેટાસેટનું કેન્દ્ર કહે છે. માનક વિચલન તમને જણાવે છે કે મૂલ્યો સામાન્ય રીતે તે કેન્દ્રથી કેટલા દૂર ભટકી જાય છે.
નીચા પ્રમાણભૂત વિચલન → મૂલ્યો સરેરાશની આસપાસ ચુસ્તપણે ક્લસ્ટર થયેલ છે ઉચ્ચ પ્રમાણભૂત વિચલન → મૂલ્યો સરેરાશથી વ્યાપકપણે ફેલાય છે
બે પરીક્ષા વર્ગો બંને સરેરાશ 70%, પરંતુ:
- વર્ગ A: 68, 69, 70, 71, 72 ના સ્કોર — SD ≈ 1.4 (ખૂબ સુસંગત)
- વર્ગ B: 40, 55, 70, 85, 100 ના સ્કોર — SD ≈ 22.4 (અત્યંત ચલ)
સમાન સરેરાશ, ખૂબ જ અલગ વિતરણ.
ફોર્મ્યુલા
તમારી પાસે સંપૂર્ણ વસ્તી છે કે નમૂના છે તેના આધારે બે સંસ્કરણો છે.
વસ્તી પ્રમાણભૂત વિચલન (σ)
જ્યારે તમારી પાસે જૂથના દરેક સભ્ય માટે ડેટા હોય ત્યારે ઉપયોગ કરો.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન (ઓ)
જ્યારે તમારો ડેટા મોટી વસ્તી (સૌથી સામાન્ય કેસ)માંથી નમૂના હોય ત્યારે ઉપયોગ કરો.
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
પૂર્વગ્રહને સુધારવા માટે છેદ n − 1 (n નહીં) છે જે નમૂનામાંથી વસ્તી પરિમાણનો અંદાજ કાઢવાથી આવે છે. આને બેસલ્સ કરેક્શન કહેવામાં આવે છે.
સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ગણતરી
ડેટાસેટ: 6 વિદ્યાર્થીઓ માટે ટેસ્ટ સ્કોર: 72, 85, 68, 91, 74, 80
પગલું 1: સરેરાશ શોધો
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
પગલું 2: સરેરાશમાંથી દરેક વિચલન શોધો
| સ્કોર | વિચલન (x − x̄) | ચોરસ વિચલન |
|---|---|---|
| 72 | −6.33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −10.33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | −4.33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
પગલું 3: વર્ગ વિચલનોનો સરવાળો
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
પગલું 4: n − 1 વડે ભાગાકાર કરો (નમૂનો)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
પગલું 5: વર્ગમૂળ લો
s = √(74.67) = 8.64
પ્રમાણભૂત વિચલન 8.64 પોઈન્ટ છે. સામાન્ય વિદ્યાર્થીનો સ્કોર વર્ગ સરેરાશથી લગભગ 8-9 પોઈન્ટ દૂર હોય છે.
68-95-99.7 નિયમ
સામાન્ય રીતે વિતરિત ડેટા (ઘંટડી વળાંક) માટે, પ્રમાણભૂત વિચલન ફેલાવા સાથે અનુમાનિત સંબંધ ધરાવે છે:
- 68% મૂલ્યો સરેરાશના 1 SD ની અંદર આવે છે
- 95% મૂલ્યો સરેરાશના 2 SD ની અંદર આવે છે
- 99.7% મૂલ્યો સરેરાશના 3 SD ની અંદર આવે છે
અમારા ઉદાહરણ પર લાગુ (મીન = 78.33, SD = 8.64):
- સ્કોર્સનો 68%: 78.33 ± 8.64 → 69.7 થી 86.97
- સ્કોરનો 95%: 78.33 ± 17.28 → 61.05 થી 95.61
- સ્કોરનો 99.7%: 78.33 ± 25.92 → 52.41 થી 104.25
વિચલન વિ માનક વિચલન
વિવિધતા એ સ્ક્વેર્ડ પ્રમાણભૂત વિચલન છે: અમારા ઉદાહરણમાં s² = 74.67.
ભિન્નતાને બદલે પ્રમાણભૂત વિચલન શા માટે વાપરવું?
- પ્રમાણભૂત વિચલન તમારા ડેટા (પોઇન્ટ્સ, ડોલર, મીટર) જેવા જ એકમોમાં છે
- ભિન્નતા ચોરસ એકમોમાં છે — વ્યવહારિક રીતે અર્થઘટન કરવું મુશ્કેલ છે
- "સરેરાશ 8.64 પોઈન્ટ્સથી વિચલિત થયેલો" અર્થપૂર્ણ છે; "વિચલન 74.67 પોઈન્ટ² હતું" એવું નથી
વાસ્તવિક વિશ્વ ઉપયોગો
ફાઇનાન્સ: સરેરાશ 0.05% અને SD 1.2% નું દૈનિક વળતર ધરાવતો સ્ટોક સમાન સરેરાશ વળતર અને 0.3% ની SD કરતાં વધુ જોખમી છે. પ્રમાણભૂત વિચલન એ અસ્થિરતા માપનનો પાયો છે.
ઉત્પાદન: 10mm ના લક્ષ્ય વ્યાસ અને 0.02mm ના SD સાથે બોલ્ટ ઉત્પન્ન કરતી ફેક્ટરી 0.5mm ના SD વાળા એક કરતાં ઘણી વધુ સુસંગત છે. ગુણવત્તા નિયંત્રણ SD પર આધાર રાખે છે.
મેડિસિન: ક્લિનિકલ ટ્રાયલ્સનો અર્થ એ છે કે દર્દીઓમાં સારવાર કેવી રીતે સતત કામ કરે છે તે દર્શાવવા માટે SD સાથે રિપોર્ટ કરે છે.
હવામાન: "SD 4°C સાથે સરેરાશ તાપમાન 18°C" તમને એકલા સરેરાશ કરતા ઘણું વધારે કહે છે — તમે જાણો છો કે શું પેક કરવું.
Z-સ્કોર્સ
z-સ્કોર કોઈપણ મૂલ્યને પ્રમાણભૂત વિચલન એકમોમાં રૂપાંતરિત કરે છે, જે વિવિધ ડેટાસેટ્સમાં સરખામણીને સક્ષમ કરે છે:
z = /x - x̄s
અમારા ઉદાહરણમાં 91 સ્કોર કરનાર વિદ્યાર્થી:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
આ સ્કોર સરેરાશ કરતાં 1.47 પ્રમાણભૂત વિચલનો છે — વર્ગના લગભગ 93% કરતાં વધુ સારો.
હવે પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરો
અમારું આંકડાકીય કેલ્ક્યુલેટર તમે દાખલ કરો છો તે કોઈપણ ડેટાસેટમાંથી પ્રમાણભૂત વિચલન, વિચલન, સરેરાશ, મધ્યક, મોડ અને વધુની ગણતરી કરે છે. તમારા નંબરો પેસ્ટ કરો અને તરત જ સંપૂર્ણ પરિણામો મેળવો.