What is Black-Scholes Option Pricing?
▾
מודל Black-Scholes מחשב את המחיר ההוגן של אופציה בסגנון אירופאי - חוזה המעניק לך את הזכות, אך לא את החובה, לקנות (להתקשר) או למכור (להכניס) מניה במחיר קבוע בתאריך עתידי ספציפי. לפני 1973, אופציות תומחרו לפי אינטואיציה ומשא ומתן. פישר בלאק ומיירון סקולס שינו הכל עם משוואה אחת שהתייחסה לתמחור האופציות כוודאות מתמטית בהינתן חמישה תשומות שניתנות לצפייה. יחד עם השכלולים של רוברט מרטון, עבודה זו זיכתה את שולס ומרטון בפרס נובל לכלכלה לשנת 1997 והולידה את שוק הנגזרים המודרני בשווי מאות טריליוני דולרים. המודל מניח שמחיר המניה עוקב אחר הליכה אקראית עם תנודתיות מתמדת, שאין דיבידנדים ושניתן לסחור ברציפות ללא עלויות עסקה. בפועל, הסוחרים משתמשים בזה כמדד - הם שמים את מחירי השוק הנוכחיים כדי לפתור בחזרה את 'תנודתיות מרומזת', תחזית הקונצנזוס של השוק לגבי כמה המניה תנוע. כל סוחר באופציות צופה בתנודתיות מרומזת מכיוון שהיא אומרת לך אם האופציות זולות או יקרות ביחס להיסטוריה. אם התנודתיות המשתמעת גבוהה, אופציות עולות יותר; אם הם נמוכים, הם עולים פחות. למודל יש מגבלות ידועות - הוא מזלזל בהסתברות למהלכי שוק קיצוניים (זנבות שומן) ומתקלקל עבור אופציות בסגנון אמריקאי שניתן לממש מוקדם - אבל הוא נשאר נקודת המוצא האוניברסלית לכל תמחור האופציות וניהול הסיכונים.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
נוסחה
▾
מחיר שיחה = S·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂)
שים מחיר = K·e^(−rT)·N(−d₂) − S·N(−d₁)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] / (σ·√T)
d₂ = d₁ − σ·√T
N(x) = פונקציית התפלגות מצטברת נורמלית סטנדרטיתVariable Legend
▾
| סמל | שם | יחידה | תיאור |
|---|---|---|---|
| S | מחיר המניה הנוכחי | currency | ערך מחיר המניה הנוכחי, המשמש כפרמטר קלט קריטי בחישוב Black scholes ומשפיע ישירות על הגודל והדיוק של תוצאת הפלט המחושבת |
| K | מחיר מימוש | currency | ערך מחיר המימוש, המשמש כפרמטר קלט קריטי בחישוב Black scholes ומשפיע ישירות על הגודל והדיוק של תוצאת הפלט המחושבת |
| r | שיעור נטול סיכון | % per year | ערך התעריף חסר הסיכון, המשמש כפרמטר קלט קריטי בחישוב Black scholes ומשפיע ישירות על הגודל והדיוק של תוצאת הפלט המחושבת |
| T | זמן לפוג | years | הזמן שנותר עד לפקיעת האופציה, מבוטא בשנים (למשל, 90 ימים = 0.247 שנים) |
| σ | תנודתיות | % per year | סטיית תקן שנתית של התשואות היומן של המניה; הקלט הקריטי והיחיד שאינו ניתן לצפייה של המודל |
How to Black-Scholes Option Pricing
▾
- 1אסוף את חמשת התשומות: מחיר המניה הנוכחי (S), מחיר המימוש (K), שיעור חסר סיכון (r), זמן פקיעת התוקף בשנים (T) ותנודתיות צפויה (σ).
- 2חשב את d₁: זה לוכד עד כמה האופציה נמצאת בכסף, מותאם לזמן ולתנודתיות.
- 3חשב d₂ = d₁ − σ√T: זה d₁ מותאם כלפי מטה לאי הוודאות של מסלול המניה.
- 4חפש את N(d₁) ו-N(d₂) מההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית - אלה מייצגים הסתברויות לפקיעה של האופציה בתוך הכסף.
- 5לשיחה: הכפלו את מחיר המניה ב-N(d₁) ואז הפחיתו את מחיר המימוש המוזל כפול N(d₂).
- 6ל-put: השתמש ב-put-call parity או בנוסחת ה-put Direct. Put = Call − S + K·e^(−rT).
- 7השווה את מחיר הדגם למחיר השוק; אם הם שונים, ההבדל מוסבר על ידי הנחת תנודתיות שונה - שתנודתיות מרומזת היא האות האמיתי של השוק.
Worked Examples
▾
אופציות בכסף (S=K) הן הנסחרות הנפוצות ביותר; המחיר שלהם רגיש ביותר לשינויים בתנודתיות.
עם המניה בדיוק במחיר המימוש, לאופציה אין ערך מהותי - כל 10.45$ הם ערך זמן. בערך חצי מהפרמיה נובעת מהפוטנציאל שהמניה תעלה מעל 100 דולר, ומרכיב הריבית (ערך הזמן של הכסף) אחראי להנחה קטנה על השביתה.
תנודתיות גבוהה מנפחת את מחירי האופציות מחוץ לכסף בצורה דרמטית - למניה יש 6 חודשים לעלייה של 25%.
למרות היותה 20% מחוץ לכסף, לאופציה יש ערך משמעותי בגלל תנודתיות משתמעת גבוהה (40%) ועוד 6 חודשים שנותרו. תנודתיות שנתית של 40% פירושה שבערך ±25% מהלכים במשך 6 חודשים נמצאים בסטיית תקן אחת, מה שהופך עלייה ל-$100 מתקבלת על הדעת.
להשקעות עמוקות בכסף יש מחיר קרוב לערך הפנימי (K−S=$30) עם פרמיית זמן קטנה.
ה-put שווה כמעט את הערך הפנימי המלא שלו של 30$ מכיוון שהוא עד כה בתוך הכסף. ההנחה הקטנה מ-30$ משקפת את הריבית חסרת הסיכון שנצברת בהמתנה (אפשר לחילופין שורט במניה ולהשקיע את ה-100$ ב-3%). פרמיית הזמן קטנה מכיוון שיש מעט אי ודאות אם הסכום הזה יפוג בכסף.
סוחרים משתמשים ב-Black-Scholes הפוך כדי לחלץ את תחזית התנודתיות של השוק ממחירי האופציות.
כאשר מחיר הדגם בתנודתיות של 20% הוא 5.50$ בלבד, אך השוק נסחר ב-8.00$, השוק מרמז על תנודתיות גבוהה יותר - כ-28.5%. התנודתיות המשתמעת הזו היא האות האמיתי: היא אומרת לך שהשוק מצפה למהלכים גדולים מהממוצע. סוחרים משווים תנודתיות מרומזת לתנודתיות היסטורית כדי להחליט אם האופציות זולות או יקרות.
Real-World Applications
▾
תמחור אפשרויות הון, אינדקס ותעודות סל בבורסות ברחבי העולם, מה שמאפשר לעוסקים לקבל החלטות כמותיות מושכלות המבוססות על שיטות חישוב מאומתות וגישות סטנדרטיות בתעשייה, מה שדורש ניתוח כמותי מדויק כדי לתמוך בהחלטות מבוססות ראיות, הקצאת משאבים אסטרטגית ואופטימיזציה של הקשרים ארגוניים מקצועיים מגוונים.
הערכת אופציות למניות לעובדים לדיווח כספי (ASC 718 / IFRS 2), סיוע לאנליסטים להפיק תוצאות מדויקות התומכות בתכנון אסטרטגי, הקצאת משאבים ומידוד ביצועים בין ארגונים, כאשר חישוב מספרי מדויק חיוני להפקת תפוקות אמינות המאפשרות תכנון, הערכה ותהליכי שיפור מתמשכים בארגונים ובהגדרות אישיות.
חילוץ תנודתיות מרומזת לבניית מדד VIX ומדדי נפח אחרים, המאפשר לאנשי מקצוע לכמת תוצאות באופן שיטתי ולהשוות תרחישים תוך שימוש במסגרות מתמטיות אמינות ונוסחאות מבוססות, תוך דרישה לגישות חישוב שיטתיות המתרגמות נתוני קלט גולמיים לתובנות ניתנות לפעולה עבור בעלי עניין התלויים בפעילות המקצועית הכמותית הקפדנית שלהם.
גידור ספרי אופציות באמצעות דלתא, גמא ו-vega המחושבים מהמודל, תמיכה בתהליכי הערכה מונעי נתונים שבהם דיוק מספרי חיוני למטרות תאימות, דיווח ואופטימיזציה, המחייב שיטות חישוב חזקות המספקות תוצאות עקביות וניתנות לאימות המתאימות לדיווח, ביקורת וניתוח מגמות ארוכות טווח בסביבות מקצועיות.
Special Cases
▾
מניות משלמות דיבידנד
המודל הסטנדרטי מתעלם מדיבידנדים. עבור מניות המחלקות דיבידנדים ידועים, הפחת את הערך הנוכחי של דיבידנדים צפויים ממחיר המניה הנוכחי לפני יישום הנוסחה. עבור תשואת דיבידנד רציפה (נפוץ לאופציות אינדקס), החלף את S ב-S·e^(−qT) כאשר q היא תשואת הדיבידנד הרציפה - זוהי הרחבה של Merton (1973).
תפוגה קצרה מאוד או ארוכה מאוד
סמוך לתפוגה (ימים), המודל יכול להפיק תוצאות לא מדויקות אם המניה קרובה לשביתה - פונקציית ההסתברות הופכת רגישה מאוד לשינויי קלט קטנים. עבור אופציות ארוכות מאוד (LEAPS, 2+ שנים), אי ודאות בריבית ונטיות החזרה ממוצעות הופכות את הנחות התנודתיות הקבועות ליותר ויותר ריאליות.
אפשרויות בינאריות וחסמים
Black-Scholes בצורתה הסטנדרטית אינה מתמחרת אופציות אקזוטיות כמו מחסומים (אפשרויות המופעלות או מושבתות בסף מחיר) או בינאריות (תמורה קבועה אם התנאי מתקיים). אלה דורשים נוסחאות או שיטות מספריות משתנות, אם כי אבני הבניין של Black-Scholes מופיעות בגזירתן.
מחירים משוערים של אופציות רכש - S=$100, r=4%, T=0.5yr
▾
| שביתה (K) | σ=15% | σ=25% | σ=35% | σ=50% |
|---|---|---|---|---|
| 80 $ (בקרה עצמית עמוקה) | 21.50 דולר | $22.60 | $24.10 | $26.80 |
| $95 (ITM קל) | $7.80 | $9.90 | $12.10 | $15.30 |
| $100 (כספומט) | 4.30 דולר | $7.10 | $9.80 | $13.50 |
| $105 (אוטמ קל) | $2.00 | $4.90 | $7.60 | $11.40 |
| 120 $ (אופטימיזציית שירות עמוקה) | $0.10 | $1.20 | $3.20 | $7.00 |
Frequently Asked Questions
▾
מהי תנודתיות מרומזת ולמה זה משנה?
תנודתיות משתמעת (IV) היא ערך התנודתיות, שכאשר הוא מחובר לנוסחת Black-Scholes, מייצר את מחיר השוק הנוכחי של האופציה. זה מייצג את תחזית הקונצנזוס של השוק לגבי תנועות מחירים עתידיות. כאשר ה-IV גבוה, האופציות יקרות - השוק חושש מהלכים גדולים. כאשר ה-IV נמוך, האפשרויות זולות. סוחרים משווים IV נוכחי לתנודתיות היסטורית כדי למצוא אופציות במחיר מופקע או נמוך. מדד VIX, המכונה לעתים קרובות 'מד הפחד', הוא התנודתיות המרומזת של אופציות S&P 500.
מדוע בלאק-סקולס לא יכולה לתמחר אופציות אמריקאיות בדיוק?
ניתן לממש אופציות אמריקאיות בכל עת לפני פקיעת התוקף, מה שיוצר פרמיית מימוש מוקדמת ש-Black-Scholes לא יכולה לתפוס עם הנוסחה הסגורה שלה. עבור שיחות אמריקאיות על מניות שאינן משלמות דיבידנד, מימוש מוקדם לעולם אינו אופטימלי (כדאי לך למכור את האופציה), כך שמחיר השיחה של Black-Scholes מדויק. עבור רכישות אמריקאיות על מניות משלמות דיבידנד, המתרגלים משתמשים בעצים בינומיים (מודל קוקס-רוס-רובינשטיין) או בשיטות מספריות כמו סכמות הבדלים סופיות.
מהו חיוך התנודתיות ולמה הוא מתרחש?
אם Black-Scholes היה נכון לחלוטין, התנודתיות המרומזת הייתה קבועה בכל מחירי השביתה. בפועל, מסחר מחוץ לכסף (ביטוח התרסקות) בתנודתיות מרומזת גבוהה יותר מאשר אופציות בכסף, ושיחות מחוץ לכסף מציגות לפעמים גם IV מוגבר. הדפוס הזה - שנקרא חיוך התנודתיות או הטיה - משקף את הפחד של משתתפי השוק מאירועי זנב שבלאק-שולס מזלזל בהם. הוא הופיע באופן בולט לאחר מפולת הבורסה ב-1987.
מה דלתא אומרת לי על אופציה?
דלתא (∂V/∂S) אומרת לך כמה משתנה מחיר האופציה עבור מהלך של $1 במניה. דלתא של 0.60 פירושה שמחיר האופציה עולה ב-0.60 דולר כאשר המניה עולה ב-1 דולר. דלתא גם מעריכה את ההסתברות שהאופציה תפוג בכסף: לשיחת דלתא של 0.60 יש סיכוי של בערך 60% לפקיעת תוקף בכסף. סוחרים משתמשים בדלתא להגנה: כדי להיות 'נייטרלי לדלתא', אתה מחזיק במניות ביחס לדלתא של האופציה כדי לקזז חשיפה כיוונית.
איך דעיכת זמן (תטא) משפיעה על ערך האופציה?
אופציות מאבדות מערכן ככל שתפוגה מתקרבת - שחיקה זו נקראת דעיכת זמן או תטא. כל השאר שווה, אופציה מאבדת מערכה כל יום פשוט מחלוף הזמן. לאפשרויות ב-the-money יש את דעיכת הזמן הגבוהה ביותר במונחים מוחלטים; לאפשרויות עמוק בתוך הכסף או רחוק מחוץ לכסף יש תטא נמוך יותר. זו הסיבה שקניית אופציות מחייבת את המניה לנוע מספיק כדי לקזז את שחיקת ערך הזמן המתמשכת - רוכשי אופציות נלחמים בדעיכת הזמן בכל יום שהם מחזיקים בפוזיציה.
האם ניתן להשתמש ב-Black-Scholes עבור אפשרויות קריפטו?
כן, עם אזהרות משמעותיות. Black-Scholes יכולה לתמחר אפשרויות קריפטו אם תזין תנודתיות מרומזת מתאימה. אופציות ביטקוין נסחרות ב-Deribit ו-CME כאשר IV נע לרוב בין 50-150% - גבוה בהרבה משוקי המניות. הנחת התנודתיות הקבועה של המודל מופרת עוד יותר עבור קריפטו, שם התנודתיות עצמה מאוד תנודתית (נקראת לעתים קרובות 'vol of vol'). מודלים מתוחכמים יותר כמו SABR או Heston, המאפשרים תנודתיות סטוכסטית, מתאימים יותר לתמחור אופציות קריפטו מדויק.
מי היה פישר בלאק ולמה הוא לא חתן פרס נובל?
פישר בלאק היה מתמטיקאי יישומי וכלכלן פיננסי שפיתח את המודל יחד עם מיירון סקולס. הוא עבד בגולדמן זאקס תוך יישום המודל בפועל. פרס נובל בכלכלה הוענק בשנת 1997 לסקולס ורוברט מרטון על עבודתם על מתודולוגיית תמחור אופציות. פישר בלאק נפטר מסרטן הגרון באוגוסט 1995 - שנתיים לפני הפרס. פרס נובל אינו מוענק לאחר מותו, ולכן בלאק הוכר במפורש אך לא יכול היה לקבל את הפרס.
Common Mistakes to Avoid
▾
- !שימוש בתנודתיות היסטורית ישירות - המודל צריך להשתמש בתנודתיות מרומזת או באומדן צופה פני עתיד, לא בעבר. שימוש בנפח היסטורי אחרון עשוי לתמחר אופציות לפני אירועים תנודתיים כמו רווחים.
- !חיבור זמן לימים מבלי להמיר לשנים - T חייב להיות בשנים (ימים/365 או ימים/252 לימי מסחר).
- !התעלמות מדיבידנדים עבור מניות משלמות דיבידנד - השמטת התאמת הדיבידנד מעריכה משמעותית שיחות וערכי חסר מעמידה את משלמי הדיבידנד בסמוך לתאריך הקודם.
- !התייחסות לתפוקת המודל כמחיר השוק ה'נכון' - המודל הוא אמת מידה; אופציות ריאליות נסחרות במחירים הנקבעים על פי היצע וביקוש ונזילות.
Pro Tip
כאשר משווים אופציות על פני שביתות או מועדים, השוו תנודתיות מרומזת ולא מחירי אופציות. אופציה עשויה להיראות זולה במונחים דולריים אך יקרה במונחי תנודתיות. נרמל תמיד על ידי התבוננות במשטח ה-IV - המפה התלת-ממדית של התנודתיות המרומזת על פני תקלות ומועדים - כדי לזהות הזדמנויות ערך יחסיות.
Did you know?
המודל של Black-Scholes איפשר לבורסת האופציות של שיקגו (CBOE) להיפתח באפריל 1973 - ממש באותו חודש שבו פורסם העיתון. בתוך עשר שנים, נפח המסחר באופציות התפוצץ מאלפי למיליוני חוזים ביום. הנוסחה הייתה כה משפיעה עד שטקסס אינסטרומנטס ייצרה מחשבון כיס מיוחד שתוכנת מראש עם Black-Scholes זמן קצר לאחר הפרסום.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
References
Ratings & comments
קבל טיפים שבועיים למתמטיקה
הצטרפו למנויי 12,000+ שמקבלים טיפים למחשבון מדי שבוע.