A z-pontszám (vagy standard pontszám) azt méri, hogy egy adatpont hány szórása van az átlagtól. A nyers pontszámokat szabványosított skálává alakítja, amely lehetővé teszi a különböző adatkészletek összehasonlítását.
A Z-Score formula
z = (x − μ) ÷ σ
Ahol:
- x = egyedi adatpont
- μ (mu) = népesség átlaga
- σ (szigma) = populáció szórása
Egy mintánál cserélje ki μ-t x̄-re (minta átlaga) és σ-t s-re (minta SD).
Működött példa
Egy diák 72 pontot ér el egy vizsgán. Az osztályátlag 65, a szórás pedig 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Ez a tanuló 0,875 szórással az átlag felett ért el.
A Z-pontszámok értelmezése
| Z-pontszám | Értelmezés | Percentilis (kb.) |
|---|---|---|
| −3 | Rendkívül átlag alatti | 0.1% |
| −2 | Jóval átlag alatt | 2.3% |
| −1 | Átlag alatti | 15.9% |
| 0 | Az átlagnál | 50.0% |
| +1 | Átlagon felül | 84.1% |
| +2 | Jóval átlag felett | 97.7% |
| +3 | Rendkívül átlag feletti | 99.9% |
A 68-95-99,7 szabály
Normál eloszlásban:
- Az adatok 68%-a esik ±1 szórásra
- 95% ±2 szórással
- 99,7% ±3 szórással
Z-pontszám átalakítása százalékosra
Miután megvan a z-pontszám, keresse meg a standard normál táblázatot (Z-tábla), vagy használja:
Percentile = Φ(z) × 100
Ahol Φ a kumulatív normális eloszlási függvény.
Példa: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3 százalékos
A Z-pontszámok alkalmazásai
Pénzügy:
- Altman Z-Score csődveszélyt jósol
- Kockázatkezelésben használják a kiugró értékek azonosítására
Egészségügy:
- BMI életkor z-pontszáma gyermekek számára
- A csontsűrűség (DXA) T-pontszámok a z-score egy formája
Minőségellenőrzés:
- A Six Sigma z-pontszámokat használ a folyamatképesség mérésére
- Egy „6 szigma” folyamat z-értéke 6 (3,4 hiba/millió)
Szabványos teszteredmények:
- IQ-pontszámok: átlag 100, SD 15 (z-pontszám +2 → IQ 130)
- SAT pontszámok: átlag 1000, SD 200 (z-pontszámokból skálázva)
Pontszámok összehasonlítása különböző tesztek során
Példa: Alice 80 pontot ért el az A teszten (átlag 70, SD 10). Bob 55 pontot ért el a B teszten (átlag 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Az alacsonyabb nyers pontszám ellenére Bob jobban teljesített társaihoz képest.