A szórás a statisztika legszélesebb körben használt mérőszáma. Megmutatja, hogy az elosztott értékek az átlag körül vannak. Ez az útmutató az első alapelvektől kezdve, működő példákkal magyarázza el.
Mit mond a szórás
Az átlag megadja az adatkészlet közepét. A szórás megmutatja, hogy az értékek általában milyen messze térnek el attól a középponttól.
Alacsony szórás → az értékek szorosan az átlag körül csoportosulnak Magas szórás → az értékek széles körben eltérnek az átlagtól
Két vizsgaóra átlaga 70%, de:
- A osztály: 68, 69, 70, 71, 72 pontszámok – SD ≈ 1,4 (nagyon konzisztens)
- B osztály: 40, 55, 70, 85, 100 pontszámok – SD ≈ 22,4 (nagyon változó)
Ugyanaz az átlag, nagyon eltérő eloszlás.
A képlet
Két változat létezik attól függően, hogy a teljes sokaság vagy a minta megvan.
Népesség szórás (σ)
Akkor használja, ha rendelkezik adatokkal a csoport minden tagjáról.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
Minta szórás (s)
Akkor használja, ha az adatok egy nagyobb sokaságból származó minta (a leggyakoribb eset).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
A nevező n − 1 (nem n), hogy korrigálja a torzítást, amely egy populációs paraméter mintából való becsléséből származik. Ezt nevezik Bessel-korrekciónak.
Lépésről lépésre történő számítás
Adatkészlet: Teszteredmények 6 tanulónál: 72, 85, 68, 91, 74, 80
1. lépés: Keresse meg az átlagot
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
2. lépés: Keresse meg az átlagtól való minden eltérést
| Pontszám | Eltérés (x − x̄) | Négyzetes eltérés |
|---|---|---|
| 72 | −6.33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −10.33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | −4.33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
3. lépés: Adja össze az eltérések négyzetét
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
4. lépés: Oszd el n − 1-gyel (minta)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
5. lépés: Vegye ki a négyzetgyököt
s = √(74.67) = 8.64
A szórás 8,64 pont. A tipikus tanulói pontszám 8-9 ponttal eltér az osztályátlagtól.
A 68-95-99,7 szabály
Normális eloszlású adatok (haranggörbe) esetén a szórásnak előre látható kapcsolata van a szórással:
- Az értékek 68%-a esik 1 SD-on belülre az átlagtól
- Az értékek 95%-a esik 2 SD-on belülre az átlagtól
- Az értékek 99,7%-a esik 3 SD-on belülre az átlagtól
Példánkra alkalmazva (átlag = 78,33, SD = 8,64):
- A pontszámok 68%-a: 78,33 ± 8,64 → 69,7-86,97
- A pontszámok 95%-a: 78,33 ± 17,28 → 61,05-95,61
- A pontszámok 99,7%-a: 78,33 ± 25,92 → 52,41-104,25
Szórás vs szórás
A Szórás a szórásnégyzet: példánkban s² = 74,67.
Miért használjunk szórást a variancia helyett?
- A szórás ugyanabban a mértékegységben van, mint az Ön adatai (pont, dollár, méter)
- A variancia négyzetes egységekben értendő – gyakorlatilag nehezebb értelmezni
- "Az átlagpontszám 8,64 ponttal tért el" értelmes; "74,67 pont volt a szórás²" nem
Valós felhasználás
Pénzügyek: Az átlagosan 0,05%-os napi hozamú és 1,2%-os SD-értékű részvények sokkal kockázatosabbak, mint az azonos átlagos hozamú és 0,3%-os SD-vel rendelkező részvények. A szórás a volatilitás mérésének alapja.
Gyártás: A 10 mm-es célátmérőjű és 0,02 mm-es SD csavarokat gyártó gyár sokkal konzisztensebb, mint egy 0,5 mm-es SD-vel. A minőségellenőrzés az SD-n alapul.
Gyógyászat: A klinikai vizsgálatok az SD mellett azt mutatják be, hogy a kezelés mennyire következetesen működött a betegeknél.
Időjárás: Az „átlaghőmérséklet 18°C, SD 4°C” sokkal többet mond, mint az átlag önmagában – tudja, mit kell csomagolnia.
Z-pontszámok
A z-pontszám bármely értéket szórás mértékegységévé konvertál, lehetővé téve a különböző adatkészletek összehasonlítását:
z = /x - x̄s
Példánkban egy diák 91 pontot ért el:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
Ez a pontszám 1,47 szórással meghaladja az átlagot – jobb, mint az osztály körülbelül 93%-a.
Számítsa ki a szórást most
Statisztikai kalkulátorunk kiszámítja a szórást, a szórást, az átlagot, a mediánt, a módust és még sok mást az Ön által megadott bármely adatkészletből. Illessze be a számokat, és azonnal megkapja a teljes eredményeket.