Un'equazione cubica è un polinomio di grado 3, con la forma generale ax³ + bx² + cx + d = 0. A differenza delle equazioni quadratiche, le equazioni cubiche possono avere 1, 2 o 3 soluzioni reali e non hanno una semplice formula in forma chiusa che la maggior parte delle persone impara a scuola. Tuttavia, sono risolvibili utilizzando la formula di Cardano o metodi numerici.

La forma generale

ax³ + bx² + cx + d = 0

Dove a ≠ 0 (altrimenti non è cubico). L'equazione può avere:

  • 3 radici reali distinte
  • 1 radice reale e 2 radici complesse coniugate
  • Una radice ripetuta (quando il discriminante è uguale a zero)

##Formula di Cardano

Per utilizzare la formula di Cardano, prima deprimi il cubo (elimina il termine x²) sostituendo x = t - b/(3a):

t³ + pt + q = 0

Quindi le radici vengono trovate utilizzando una formula complessa che coinvolge il discriminante:

Δ = -4p³ - 27q²

Se Δ > 0: tre radici reali distinte Se Δ = 0: almeno due radici reali uguali Se Δ < 0: una radice reale e due radici complesse coniugate

Esempio realizzato

Risolvi x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

Mediante ispezione o prova, possiamo testare piccoli numeri interi. Prova x = 1:

1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓

Quindi x = 1 è una radice. Fattorizzazione (x - 1):

(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

Le tre radici sono x = 1, 2, 3.

Trovare le radici senza fattorizzare

Per le equazioni cubiche che non vengono fattorizzate bene, utilizzare:

  1. Formula di Cardano (algebricamente esatta ma complicata)
  2. Metodi numerici come Newton-Raphson (iterativo, trova una radice alla volta)
  3. Rappresentazione grafica per stimare le radici e perfezionamento con Newton-Raphson

Applicazioni

Le equazioni cubiche compaiono in:

  • Ingegneria (analisi sforzo-deformazione, fluidodinamica)
  • Fisica (moto dei proiettili in mezzi resistenti, materiali cubici)
  • Economia (problemi di ottimizzazione, curve dei costi di produzione)
  • Computer grafica (curve cubiche di Bézier)

Suggerimenti

Se sospetti radici razionali, usa il Teorema della radice razionale: qualsiasi radice razionale p/q ha p che divide d e q che divide a. Ciò restringe significativamente i candidati al test. Verifica sempre le radici mediante sostituzione.

Utilizza il nostro Risolutore di equazioni cubiche per trovare istantaneamente tutte le radici, siano esse reali o complesse.