Il valore atteso (EV) è la media ponderata in base alla probabilità di tutti i possibili risultati. Ti dice cosa dovresti aspettarti di ottenere in media se ripeti un evento molte volte.
La Formula
E(X) = Σ (probability × value)
Somma tutte le coppie (probabilità × risultato).
Esempio semplice: scommessa sul lancio della moneta
Un giusto lancio della moneta:
- Testa: vinci £ 10
- Croce: perdi £8
E(X) = (0.5 × 10) + (0.5 × −8)
E(X) = 5 + (−4) = £1
Interpretazione: In media, vinci £ 1 per lancio. Questa è una scommessa EV positiva che vale la pena fare ripetutamente.
Esempio: assicurazione
Dovresti acquistare una polizza assicurativa telefonica da £ 200 all'anno?
Assumere:
- 5% di possibilità di danni al telefono (costo: £ 400 per la riparazione)
- 95% di possibilità di non subire danni
Costo previsto senza assicurazione:
E(cost) = (0.05 × £400) + (0.95 × £0) = £20
Costo dell'assicurazione: £ 200
L'assicurazione costa £ 200 per un danno previsto di £ 20: pagherai 10 volte il costo previsto. Matematicamente, l’assicurazione è una decisione EV negativa. Tuttavia, la riduzione del rischio potrebbe valere il premio se non puoi permetterti la perdita di £400.
Gioco d'azzardo: il vantaggio della casa
Una ruota della roulette europea (37 numeri, 0–36). Scommetti £ 1 su un singolo numero:
- Vincita: 1 possibilità su 37, vincita = £ 36 (35:1 + puntata)
- Perdere: 36 occasioni su 37
E(X) = (1/37 × 36) + (36/37 × −1)
E(X) = 0.973 − 0.973 = −0.027
Perdita prevista = 0,027€ per scommessa di 1€ = margine del banco del 2,7%.
Oltre 1.000 giri da £ 1 ciascuno:
Expected loss = 1,000 × 0.027 = £27
Processo decisionale aziendale
Un’azienda sta decidendo se lanciare un prodotto:
| Risultato | Probabilità | Profitti/perdite |
|---|---|---|
| Forte successo | 20% | +£500.000 |
| Successo moderato | 40% | +£ 100.000 |
| Pareggiare | 25% | £ 0 |
| Fallimento | 15% | −£ 200.000 |
EV = (0.2 × 500,000) + (0.4 × 100,000) + (0.25 × 0) + (0.15 × −200,000)
EV = 100,000 + 40,000 + 0 − 30,000 = £110,000
EV positivo → procedere con il progetto.
Limitazioni del valore atteso
- La varianza è importante: una probabilità del 50% di vincere £ 200 e una certa £ 100 hanno lo stesso EV, ma profili di rischio molto diversi
- Eventi singoli: EV garantisce solo risultati medi su molte ripetizioni
- Utilità vs denaro: le persone valutano il denaro in modo non lineare (avversione al rischio). Perdere 1.000 sterline fa più male che guadagnarne 1.000 aiuta.
EV nel poker
Il poker professionale prevede il calcolo delle pot odds e del valore atteso per ogni decisione. Se una scommessa ha un EV positivo, dovrebbe essere effettuata indipendentemente dal risultato a breve termine.
EV = (probability of winning × pot size) − (probability of losing × bet size)