Un punteggio z (o punteggio standard) misura il numero di deviazioni standard di un punto dati dalla media. Converte i punteggi grezzi in una scala standardizzata che consente il confronto tra diversi set di dati.
La formula del punteggio Z
z = (x − μ) ÷ σ
Dove:
- x = punto dati individuale
- μ (mu) = media della popolazione
- σ (sigma) = deviazione standard della popolazione
Per un campione, sostituire μ con x̄ (media campionaria) e σ con s (SD campione).
Esempio realizzato
Uno studente ottiene 72 punti in un esame. La media della classe è 65 e la deviazione standard è 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Questo studente ha ottenuto 0,875 deviazioni standard sopra la media.
Interpretazione dei punteggi Z
| Punteggio Z | Interpretazione | Percentile (approssimativo) |
|---|---|---|
| −3 | Estremamente al di sotto della media | 0.1% |
| −2 | Ben al di sotto della media | 2.3% |
| −1 | Al di sotto della media | 15.9% |
| 0 | Alla media | 50.0% |
| +1 | Sopra la media | 84.1% |
| +2 | Ben al di sopra della media | 97.7% |
| +3 | Estremamente sopra la media | 99.9% |
La regola 68-95-99.7
In una distribuzione normale:
- Il 68% dei dati rientra in ±1 deviazione standard
- 95% entro ±2 deviazioni standard
- 99,7% entro ±3 deviazioni standard
Conversione del punteggio Z in percentile
Una volta ottenuto un punteggio z, cerca la tabella normale standard (tabella Z) o utilizza:
Percentile = Φ(z) × 100
Dove Φ è la funzione di distribuzione normale cumulativa.
Esempio: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3° percentile
Applicazioni dei punteggi Z
Finanza:
- Altman Z-Score prevede il rischio di fallimento
- Utilizzato nella gestione del rischio per identificare i valori anomali
Assistenza sanitaria:
- BMI per punteggi z di età per i bambini
- I punteggi T della densità ossea (DXA) sono una forma di punteggio z
Controllo qualità:
- Six Sigma utilizza i punteggi z per misurare la capacità del processo
- Un processo "6-sigma" ha uno z-score pari a 6 (3,4 difetti per milione)
Standardizzazione dei punteggi dei test:
- Punteggi QI: media 100, SD 15 (un punteggio z di +2 → QI 130)
- Punteggi SAT: media 1000, SD 200 (ridimensionato dai punteggi z)
Confronto dei punteggi tra diversi test
Esempio: Alice ha ottenuto 80 nel Test A (media 70, SD 10). Bob ha ottenuto 55 punti nel Test B (media 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Nonostante il punteggio grezzo più basso, Bob ha ottenuto risultati migliori rispetto ai suoi pari.