Un'equazione quadratica ha la forma ax² + bx + c = 0. Esistono quattro metodi per risolverli: sapere quale utilizzare e quando rende l'algebra molto più veloce.
Modulo standard
Ogni equazione quadratica può essere scritta come:
ax² + bx + c = 0
Dove a ≠ 0 (se a = 0, è un'equazione lineare).
Esempi:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
Metodo 1: Fattorizzazione
Funziona meglio quando l'equazione viene fattorizzata in modo pulito in numeri interi. Metodo più veloce quando applicabile.
Passaggi:
- Scrivi in forma standard
- Trova due numeri che si moltiplicano per (a × c) e li sommano per b
- Dividere il termine medio e fattorizzarlo raggruppandoli
- Impostare ciascun fattore uguale a zero
Esempio: x² − 5x + 6 = 0
- Servono due numeri: moltiplica per 6, aggiungi per −5 → −2 e −3
- Fattore: (x − 2)(x − 3) = 0
- Soluzioni: x = 2 oppure x = 3
Esempio: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, sono necessari fattori che sommano a 5 → 2 e 3
- Riscrivi: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- Fattore: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- Fattore: (2x + 3)(x + 1) = 0
- Soluzioni: x = −3/2 oppure x = −1
Quando utilizzarlo: quando riesci a individuare rapidamente i fattori. Se non trovi i fattori entro 30 secondi, cambia metodo.
Metodo 2: La formula quadratica
Funziona per ogni equazione quadratica. Utilizzare questo quando la fattorizzazione non è ovvia.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Esempio: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- Discriminante: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5 oppure x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
Il discriminante: quante soluzioni?
L'espressione b² − 4ac ti dice la natura delle soluzioni prima di risolverle:
| Discriminante | Numero di soluzioni | Tipo |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | Due soluzioni reali distinte | Numeri reali |
| b² − 4ac = 0 | Una soluzione ripetuta | Radici reali e uguali |
| b² − 4ac < 0 | Nessuna soluzione reale | Due radici complesse/immaginarie |
Esempio: x² + 2x + 5 = 0
- Discriminante = 4 − 20 = −16 → nessuna soluzione reale
- Soluzioni complesse: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
Metodo 3: Completare il quadrato
Trasforma l'equazione nella forma (x + p)² = q. Essenziale per comprendere la forma dei vertici e derivare la formula quadratica.
Passaggi:
- Spostare la costante sul lato destro
- Dividere per a (se a ≠ 1)
- Aggiungi (b/2a)² su entrambi i lati
- Considera il lato sinistro come un quadrato perfetto
- Prendi la radice quadrata di entrambi i lati
Esempio: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- Aggiungi (6/2)² = 9 a entrambi i lati: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 oppure x = −5
Metodo 4: Rappresentazione grafica
Le soluzioni (radici) sono le intercetta x della parabola y = ax² + bx + c.
- Due x-intercette → due soluzioni reali
- Un'intercetta x (vertice sull'asse x) → una soluzione ripetuta
- Nessuna intercetta x → nessuna soluzione reale (radici complesse)
Quando usarlo: Per la comprensione visiva o quando si utilizza una calcolatrice grafica. Non pratico per risposte esatte.
Scegliere il metodo giusto
| Situazione | Metodo migliore |
|---|---|
| Coefficienti interi, sembra fattorizzabile | Prima il factoring |
| Qualsiasi quadratico, necessita di una risposta esatta | Formula quadratica |
| Comprendere vertice/minimo/massimo | Completamento del quadrato |
| Comprensione visiva o approssimazione | Rappresentazione grafica |
| b² − 4ac < 0 | Formula quadratica (fornisce radici complesse) |
Guida rapida: modelli comuni
Differenza di quadrati: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
Trinomio quadrato perfetto: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (ripetuto)
Nessun termine medio: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (reale solo se c e a hanno segni opposti)
Somma e prodotto delle radici
Per ax² + bx + c = 0 con radici r₁ e r₂:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
Esempio di verifica: x² − 5x + 6 = 0, radici 2 e 3:
- Somma: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- Prodotto: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Utilizza il nostro risolutore di equazioni cubiche per equazioni di grado 3 o applica la formula quadratica sopra per qualsiasi quadratica standard.