La distribuzione normale (o distribuzione gaussiana) è la distribuzione di probabilità più importante in statistica. Descrive quanti fenomeni naturali sono distribuiti – punteggi dei test, altezze, errori di misurazione, rendimenti azionari – ed è il fondamento della maggior parte delle inferenze statistiche e dei test di ipotesi.
La Formula
La funzione di densità di probabilità per una distribuzione normale è:
f(x) = (1 / (σ√(2π))) × e^(-(x-μ)²/(2σ²))
Dove:
- μ (mu) = media (centro della distribuzione)
- σ (sigma) = deviazione standard (diffusione della distribuzione)
- x = il valore che stai valutando
- e ≈ 2.71828
- π ≈ 3,14159
La forma è a campana e circa il 68% dei valori rientra in 1 deviazione standard della media, il 95% entro 2 deviazioni standard e il 99,7% entro 3 deviazioni standard (la regola 68-95-99,7).
Esempio realizzato
Un test standardizzato ha media 100 e deviazione standard 15. Qual è la probabilità che un punteggio casuale sia inferiore a 115?
Innanzitutto, converti in un punteggio z:
z = (115 - 100) / 15 = 1.0
Un punteggio z di 1,0 significa che 115 è una deviazione standard sopra la media. Utilizzando una tabella o una calcolatrice normale standard, P(z ≤ 1,0) ≈ 0,8413 o 84,13%.
Quindi circa l’84% dei partecipanti al test ottiene un punteggio inferiore a 115.
Proprietà chiave
La distribuzione normale è definita interamente dalla sua media e dalla deviazione standard. Lo spostamento della media sposta la curva a sinistra o a destra; aumentando la deviazione standard la si appiattisce e la si allarga. L'area totale sotto la curva è sempre uguale a 1.
Qualsiasi distribuzione normale può essere convertita nella distribuzione normale standard (media 0, deviazione standard 1) utilizzando la formula del punteggio z sopra. Questa standardizzazione consente di utilizzare una tabella normale universale.
Quando usarlo
Utilizzare la distribuzione normale quando:
- I dati si raggruppano attorno ad un valore centrale
- I valori seguono un istogramma a forma di campana
- Si applica il Teorema del Limite Centrale (medie campionarie di qualsiasi distribuzione approssimata alla normale)
- Stai eseguendo test di ipotesi o intervalli di confidenza
La maggior parte dei dati continui del mondo reale seguono approssimativamente una distribuzione normale, rendendola il cavallo di battaglia delle statistiche applicate.
Suggerimenti
Verificare la normalità utilizzando un istogramma o un grafico Q-Q prima di presumere che i dati siano normali. Se i dati sono fortemente distorti o presentano valori anomali, la distribuzione normale potrebbe non essere appropriata. Per dati non normali, utilizzare test non parametrici o trasformazione dei dati.
Utilizza il nostro Calcolatore della distribuzione normale per trovare istantaneamente probabilità, percentili e punteggi z.